Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas: (a) (x+y)dx+x dy= 0

Para resolver a equação diferencial (x+y)dx + xdy = 0, primeiro precisamos verificar se ela é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de (x+y) em relação a y e de x em relação a x: ∂(x+y)/∂y = 1 ∂x/∂x = 1 Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Então, podemos encontrar uma função potencial φ(x,y) tal que: ∂φ/∂x = x+y ∂φ/∂y = x Integrando a primeira equação em relação a x, obtemos: φ(x,y) = x²/2 + xy + g(y) Agora, derivando φ em relação a y e igualando a segunda equação, temos: x = ∂φ/∂y = x + g'(y) Portanto, g'(y) = 0 e g(y) = C, onde C é uma constante arbitrária. Substituindo em φ, temos: φ(x,y) = x²/2 + xy + C Essa é a solução geral da equação diferencial. Para encontrar um fator integrante, podemos usar a fórmula: μ(x,y) = e^(∫(∂M/∂y - ∂N/∂x)/N dx) Onde M = (x+y) e N = x. Calculando as derivadas parciais, temos: ∂M/∂y = 1 ∂N/∂x = 1 Substituindo na fórmula, temos: μ(x,y) = e^(∫(1-1)/x dx) = e^0 = 1 Portanto, o fator integrante é μ(x,y) = 1. Multiplicando a equação diferencial por μ(x,y), obtemos: (x+y)dx + xdy = 0 Que é a mesma equação diferencial original. Portanto, a solução geral é φ(x,y) = x²/2 + xy + C.