Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas: cos x dy = (1 - y - sen.x)dx

Para resolver essa equação diferencial de primeira ordem, precisamos encontrar um fator integrante. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por uma função μ(x) que torna a equação exata. Começamos encontrando a derivada parcial de μ(x) em relação a y: μ(x) * (∂/∂y) cos(x) = μ(x) * 0 = 0 Em seguida, encontramos a derivada parcial de μ(x) em relação a x: μ'(x) * cos(x) + μ(x) * (-sen(x)) = μ'(x) cos(x) - μ(x) sen(x) Agora, igualamos essa expressão a (1 - y - sen(x)) e resolvemos para μ(x): μ'(x) cos(x) - μ(x) sen(x) = 1 - y - sen(x) μ'(x) cos(x) - μ(x) sen(x) = 1 - y - sen(x) μ'(x) cos(x) = 1 - y μ(x) = ∫(1 - y) / cos(x) dx μ(x) = ln|sec(x) + tan(x)| + C Agora que encontramos o fator integrante, multiplicamos ambos os lados da equação diferencial por μ(x): cos(x) * μ(x) * dy - (1 - y - sen(x)) * μ(x) * dx = 0 (1 - y) * sec(x) * dx + (y - sen(x)) * sec(x) * dx = d(ln|sec(x) + tan(x)|) Integrando ambos os lados, obtemos: ln|sec(x) + y - sen(x)| = ln|sec(x) + tan(x)| + C sec(x) + y - sen(x) = k * (sec(x) + tan(x)) y = k * sec(x) + sen(x) - k * tan(x) Portanto, a solução geral da equação diferencial é y = k * sec(x) + sen(x) - k * tan(x), onde k é uma constante arbitrária.