2. Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas: (a) y′′ − 6y′ − 7y = −9e−2x, y(0) = −2, y′(0) = 13. Resp: y = e−x − ...

Para resolver essa equação diferencial, primeiro precisamos encontrar a equação característica, que é dada por: r^2 - 6r - 7 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos as raízes r1 = -1 e r2 = 7. Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente é: y_h(x) = c1*e^(-x) + c2*e^(7x) Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Podemos tentar uma solução na forma de y_p(x) = Ae^(-2x), onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo essa solução na equação diferencial, temos: 4Ae^(-2x) + 12Ae^(-2x) - 7Ae^(-2x) = -9e^(-2x) Resolvendo para A, encontramos A = -1. Portanto, a solução particular é: y_p(x) = -e^(-2x) A solução geral da equação diferencial não homogênea é dada pela soma da solução geral da equação diferencial homogênea e da solução particular: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1*e^(-x) + c2*e^(7x) - e^(-2x) Para determinar os valores de c1 e c2, usamos as condições iniciais fornecidas: y(0) = -2 => c1 + c2 - 1 = -2 y'(0) = 13 => -c1 + 7c2 + 2 = 13 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos c1 = 1 e c2 = 0. Portanto, a solução da equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas é: y(x) = e^(-x) - e^(-2x)