Resolver as seguintes equações: a) y′′ − 4y′ + 3y = 3 sen (2x) b) y′′ + y = 4 sen x

a) Para resolver a equação diferencial y′′ − 4y′ + 3y = 3 sen (2x), primeiro encontramos a equação característica, que é r^2 - 4r + 3 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos que r = 1 ou r = 3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh = c1e^x + c2e^3x, onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponha que y = Asen(2x) + Bcos(2x) seja uma solução particular. Então, temos y′ = 2Acos(2x) - 2Bsen(2x) e y′′ = -4Asen(2x) - 4Bcos(2x). Substituindo essas expressões na equação original, obtemos: -4Asen(2x) - 4Bcos(2x) - 4Acos(2x) + 4Bsen(2x) + 3Asen(2x) + 3Bcos(2x) = 3sen(2x) Igualando os coeficientes de sen(2x) e cos(2x), obtemos o sistema de equações: -4A + 3B = 3 4B = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos que A = -3/4 e B = 0. Portanto, uma solução particular da equação não homogênea é yp = -3/4sen(2x). Assim, a solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1e^x + c2e^3x - 3/4sen(2x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. b) Para resolver a equação diferencial y′′ + y = 4sen(x), primeiro encontramos a equação característica, que é r^2 + 1 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos que r = ±i. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh = c1cos(x) + c2sen(x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método da superposição. Suponha que y1 = Asen(x) + Bcos(x) seja uma solução particular da equação y′′ + y = 4sen(x) e que y2 = Csen(x) + Dcos(x) seja uma solução particular da equação y′′ + y = 0. Então, a solução geral da equação não homogênea é y = y1 + y2. Para encontrar y2, podemos usar a solução geral da equação homogênea e substituir na equação não homogênea, obtendo: y′′ + y = 0 (c1cos(x) + c2sen(x))′′ + (c1cos(x) + c2sen(x)) = 0 - c1cos(x) - c2sen(x) + c1cos(x) + c2sen(x) = 0 Portanto, c1 = 0 e c2 é uma constante arbitrária. Assim, y2 = c2sen(x). Para encontrar y1, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponha que y1 = Asen(x) + Bcos(x) seja uma solução particular. Então, temos y1′ = Acos(x) - Bsen(x) e y1′′ = -Asen(x) - Bcos(x). Substituindo essas expressões na equação original, obtemos: -Asen(x) - Bcos(x) + Asen(x) + Bcos(x) = 4sen(x) Portanto, A = 0 e B = 4. Assim, y1 = 4cos(x). Portanto, a solução geral da equação diferencial é y = y1 + y2 = 4cos(x) + c2sen(x), onde c2 é uma constante arbitrária.