Resolver as seguintes equações a) y′′′ − 4y′ = 1 − 3x b) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 10xex c) y′′′ − 4y′ = 12 sen 2x

a) Para resolver a equação y′′′ − 4y′ = 1 − 3x, primeiro encontramos a equação característica, que é r^3 - 4r = 0. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes r = 0 e r = ±2. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x), onde c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias. Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponha que y(x) = Ax + B seja uma solução particular. Substituindo y(x) e suas derivadas na equação original, encontramos A = -3/4 e B = -1/4. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x) - (3/4)x - 1/4. b) Para resolver a equação y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 10xex, primeiro encontramos a equação característica, que é r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos a raiz r = 1 com multiplicidade 3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = c1e^x + c2xe^x + c3x^2e^x, onde c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias. Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método da variação dos parâmetros. Suponha que y(x) = u1(x)e^x + u2(x)xe^x + u3(x)x^2e^x seja uma solução particular. Substituindo y(x) e suas derivadas na equação original, encontramos u1′(x) = -10ex, u2′(x) = 10xex e u3′(x) = 0. Integrando essas equações, encontramos u1(x) = -10ex, u2(x) = 10ex(x-1) e u3(x) = C, onde C é uma constante arbitrária. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = c1e^x + c2xe^x + c3x^2e^x - 10ex + 10ex(x-1) + C. c) Para resolver a equação y′′′ − 4y′ = 12 sen 2x, primeiro encontramos a equação característica, que é r^3 - 4r = 0. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes r = 0 e r = ±2. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x), onde c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias. Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponha que y(x) = Asen(2x) + Bcos(2x) seja uma solução particular. Substituindo y(x) e suas derivadas na equação original, encontramos A = 0 e B = -3/4. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-2x) - (3/4)cos(2x).