Exerćıcio 8: Determine uma função potencial para cada campo conservativo. a) −→ F (x, y) = (x2 + y2)−→ i + 2xy−→ j.

b) −→ F (x, y) = (cos(xy)− ...

Question

Exerćıcio 8: Determine uma função potencial para cada campo conservativo. a) −→ F (x, y) = (x2 + y2)−→ i + 2xy−→ j.

b) −→ F (x, y) = (cos(xy)− xy sen(xy))−→ i − (x2 sen(xy))−→ j.
c) −→ F (x, y, z) = (6xy3 + 2z2, 9x2y2, 4xz + 1)

Ed · Answer

Para determinar uma função potencial para um campo conservativo, é necessário verificar se as derivadas cruzadas das componentes do campo são iguais. Se forem iguais, a função potencial existe e pode ser encontrada integrando-se cada componente do campo.

a) Para o campo conservativo F(x,y) = (x² + y²)i + 2xyj, temos:

∂Fy/∂x = 2y
∂Fx/∂y = 2y

Como as derivadas cruzadas são iguais, podemos encontrar a função potencial integrando cada componente do campo:

f(x,y) = ∫(x² + y²)dx = (x³/3) + xy² + g(y)
f(x,y) = ∫2xydy = x²y + h(x)

Igualando as duas expressões para f(x,y), temos:

(x³/3) + xy² + g(y) = x²y + h(x)

Derivando em relação a x, temos:

x² + dg(y)/dy = 2xy + dh(x)/dx

Como as derivadas cruzadas são iguais, temos:

dg(y)/dy = 0
dh(x)/dx = x²

Integrando, temos:

g(y) = C1
h(x) = (x³/3) + C2

Portanto, a função potencial para o campo conservativo F(x,y) = (x² + y²)i + 2xyj é:

f(x,y) = (x³/3) + xy² + C

b) Para o campo conservativo F(x,y) = (cos(xy) - xysen(xy))i - x²sen(xy)j, temos:

∂Fy/∂x = -x²cos(xy)
∂Fx/∂y = -x²cos(xy)

Como as derivadas cruzadas são iguais, podemos encontrar a função potencial integrando cada componente do campo:

f(x,y) = ∫(cos(xy) - xysen(xy))dx = sen(xy) + g(y)
f(x,y) = ∫-x²sen(xy)dy = xcos(xy) + h(x)

Igualando as duas expressões para f(x,y), temos:

sen(xy) + g(y) = xcos(xy) + h(x)

Derivando em relação a x, temos:

-sen(xy) + dh(x)/dx = cos(xy)

Derivando em relação a y, temos:

xcos(xy) + dg(y)/dy = -xsen(xy)

Como as derivadas cruzadas são iguais, temos:

dh(x)/dx = -ycos(xy)
dg(y)/dy = -xsen(xy)

Integrando, temos:

h(x) = -sen(xy) + C1
g(y) = xcos(xy) + C2

Portanto, a função potencial para o campo conservativo F(x,y) = (cos(xy) - xysen(xy))i - x²sen(xy)j é:

f(x,y) = -sen(xy) + xcos(xy) + C

c) Para o campo conservativo F(x,y,z) = (6xy³ + 2z²)i + (9x²y²)j + (4xz + 1)k, não é possível encontrar uma função potencial única, pois as derivadas cruzadas não são iguais.

Exerćıcio 8: Determine uma função potencial para cada campo conservativo. a) −→ F (x, y) = (x2 + y2)−→ i + 2xy−→ j. b) −→ F (x, y) = (cos(xy)− ...

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