Para determinar uma função potencial para um campo conservativo, é necessário verificar se as derivadas cruzadas das componentes do campo são iguais. Se forem iguais, a função potencial existe e pode ser encontrada integrando-se cada componente do campo. a) Para o campo conservativo F(x,y) = (x² + y²)i + 2xyj, temos: ∂Fy/∂x = 2y ∂Fx/∂y = 2y Como as derivadas cruzadas são iguais, podemos encontrar a função potencial integrando cada componente do campo: f(x,y) = ∫(x² + y²)dx = (x³/3) + xy² + g(y) f(x,y) = ∫2xydy = x²y + h(x) Igualando as duas expressões para f(x,y), temos: (x³/3) + xy² + g(y) = x²y + h(x) Derivando em relação a x, temos: x² + dg(y)/dy = 2xy + dh(x)/dx Como as derivadas cruzadas são iguais, temos: dg(y)/dy = 0 dh(x)/dx = x² Integrando, temos: g(y) = C1 h(x) = (x³/3) + C2 Portanto, a função potencial para o campo conservativo F(x,y) = (x² + y²)i + 2xyj é: f(x,y) = (x³/3) + xy² + C b) Para o campo conservativo F(x,y) = (cos(xy) - xysen(xy))i - x²sen(xy)j, temos: ∂Fy/∂x = -x²cos(xy) ∂Fx/∂y = -x²cos(xy) Como as derivadas cruzadas são iguais, podemos encontrar a função potencial integrando cada componente do campo: f(x,y) = ∫(cos(xy) - xysen(xy))dx = sen(xy) + g(y) f(x,y) = ∫-x²sen(xy)dy = xcos(xy) + h(x) Igualando as duas expressões para f(x,y), temos: sen(xy) + g(y) = xcos(xy) + h(x) Derivando em relação a x, temos: -sen(xy) + dh(x)/dx = cos(xy) Derivando em relação a y, temos: xcos(xy) + dg(y)/dy = -xsen(xy) Como as derivadas cruzadas são iguais, temos: dh(x)/dx = -ycos(xy) dg(y)/dy = -xsen(xy) Integrando, temos: h(x) = -sen(xy) + C1 g(y) = xcos(xy) + C2 Portanto, a função potencial para o campo conservativo F(x,y) = (cos(xy) - xysen(xy))i - x²sen(xy)j é: f(x,y) = -sen(xy) + xcos(xy) + C c) Para o campo conservativo F(x,y,z) = (6xy³ + 2z²)i + (9x²y²)j + (4xz + 1)k, não é possível encontrar uma função potencial única, pois as derivadas cruzadas não são iguais.