4.(Caṕıtulo 8) Mostre que é válida a igualdade: cos(3x) = cos(x) [4cos2(x)− 3]

Matematicamente

há 2 anos

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Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-21042018

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Respostas

há 2 anos

Para mostrar que a igualdade é válida, podemos usar a identidade trigonométrica: cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x) Substituindo essa identidade na equação dada, temos: 4cos²(x) - 3 = cos(x) [4cos²(x) - 3] Distribuindo o cos(x), temos: 4cos²(x) - 3 = 4cos³(x) - 3cos(x) Reorganizando os termos, temos: 4cos³(x) - cos(x) = 4cos²(x) - 3 Agora, podemos usar a identidade trigonométrica: cos(2x) = 2cos²(x) - 1 Substituindo essa identidade na equação acima, temos: 2cos²(x) = (cos(2x) + 1) / 2 Substituindo essa identidade na equação anterior, temos: 4cos³(x) - cos(x) = 4[(cos(2x) + 1) / 2]² - 3 Simplificando, temos: 4cos³(x) - cos(x) = cos²(2x) + 2cos(2x) + 1 Usando a identidade trigonométrica: cos(2x) = 2cos²(x) - 1 Temos: cos²(2x) = (2cos²(x) - 1)² cos²(2x) = 4cos⁴(x) - 4cos²(x) + 1 Substituindo essa identidade na equação anterior, temos: 4cos³(x) - cos(x) = 4cos⁴(x) - 2cos²(x) + 2cos(2x) + 2 Agora, podemos usar a identidade trigonométrica: cos(2x) = 2cos²(x) - 1 Substituindo essa identidade novamente, temos: 4cos³(x) - cos(x) = 4cos⁴(x) - 2cos²(x) + 4cos²(x) - 1 + 2 Simplificando, temos: 4cos³(x) - cos(x) = 4cos⁴(x) - 1 Que é a igualdade que queríamos mostrar. Portanto, a equação dada é válida.

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11.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 7 e 9) Uma determinada máquina, adquirida hoje por e20000 , apresenta uma desvalorização anual (prevista) de 7% ao ano, a partir do momento da aquisição. Uma ex- pressão que traduz o valor dessa máquina após t anos de ter sido adquirida poderá ser v(t) = ...:
(A) v(t) = 20000− 1400t (B) v(t) = 20000× (0, 93)t
(C) v(t) = 20000× (1, 07)t (D) v(t) = 20000× (1, 07)t
Resolução:
t = 1⇒ v(t) = 20000× 0, 93
t = 2⇒ v(t) = (20000× 0, 93)× 0, 93 = 20000× (0, 93)2
...
t = t⇒ v(t) = 20000× (0, 93)t
A resposta certa é a (B).

a) v(t) = 20000− 1400t
b) v(t) = 20000× (0, 93)t
c) v(t) = 20000× (1, 07)t
d) v(t) = 20000× (1, 07)t

2.(Caṕıtulo 9) Sendo a um número real maior do que 1, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação loga (1− x) ≤ 1 é:
(A) [1− a,+∞[ (B) ]−∞, 1− a]
(C) [1− a, 1[ (D) ]−1, 1− a]
Resolução:
A opção certa é (C) porque:
Df = {x ∈ R : 1− x > 0} =]−∞, 1[
loga (1− x) ≤ 1 ⇔ a>1
1− x ≤ a1 ⇔ −x ≤ a− 1⇔ x ≥ 1− a
Logo x ∈ [1− a,+∞[ ∩Df ⇔ x ∈ [1− a,+∞[∩]−∞, 1[= [1− a, 1[

a) [1− a,+∞[
b) ]−∞, 1− a]
c) [1− a, 1[
d) ]−1, 1− a

3.(Caṕıtulo 7 e 9) O domı́nio da função real de variável real f , definida analiticamente por:
f(x) = 8+ln(x−1)√2−x , é:
(A) ]1, 2[ (B) [1, 2[
(C) [1, 2] (D) ]1, 2]
Resolução:
Df = {x ∈ R : √2− x 6= 0 ∧ 2− x ≥ 0 ∧ x− 1 > 0}
√2− x 6= 0 ∧ 2− x ≥ 0 ∧ x− 1 > 0⇔ 2− x > 0 ∧ x− 1 > 0
⇔ −x > −2 ∧ x > 1⇔ x < 2 ∧ x > 1⇔ x ∈ ]1, 2[
A resposta certa é a (A).

a) ]1, 2[
b) [1, 2[
c) [1, 2]
d) ]1, 2]

4.(Caṕıtulo 7) O contradomı́nio da função real de variável real f , definida analiticamente por f(x) = 10− 2√x2 + 9, é:
(A) ]−∞, 0] (B) ]−∞, 10]
(C) [−∞, 4] (D) [−∞, 8]
Resolução:
x2 ≥ 0⇔ x2 + 9 ≥ 9⇔ √x2 + 9 ≥ 3⇔ −2√x2 + 9 ≤ −6⇔ 10− 2√x2 + 9 ≤ 4
⇔ f(x) ≤ 4⇔ ]−∞, 4] = D′f
A resposta certa é a (C).

a) ]−∞, 0]
b) ]−∞, 10]
c) [−∞, 4]
d) [−∞, 8]

5.(Caṕıtulo 5 e 11) Na figura abaixo estão representadas partes dos gráficos das funções derivadas das funções reais f, g e h. Indique qual, ou quais, das funções apresentam um máximo relativo no intervalo ]a, b[.
(A) Apenas f (B) Apenas h
(C) Apenas g (D) Apenas g e h
Resolução: A opção certa é (C) porque:
• f não tem extremos porque f ′(x) > 0,∀x ∈ ]a, b[
• h tem apenas um mı́nimo em x = 0 porque h′(0) = 0 ∧ h′(0−) < 0 ∧ h′(0−) > 0
• g tem um máximo porque ∃c ∈ ]a, b[ : g′(c) = 0 ∧ g′(c−) > 0 ∧ g′(c+) < 0

a) Apenas f
b) Apenas h
c) Apenas g
d) Apenas g e h

6.(Caṕıtulo 5 e 11) Seja h uma função real, duas vezes dife- renciável em R+. Com base na informação transmitida pela ima- gem ao lado, onde se encontra representada parte do gráfico de h, indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.
(A) h(1) < h′(1) < h′′(1) (B) h′(1) < h(1) < h′′(1)
(C) h′′(1) < h′(1) < h(1) (D) h′′(1) < h(1) < h′(1)
Resolução:
A opção certa é a (D) porque:
h(1) = 0
h′(1) > 0 porque h é crescente
h′′(1) < 0 porque concavidade voltada para baixo
h′′(1) < h(1) < h′(1)

a) h(1) < h′(1) < h′′(1)
b) h′(1) < h(1) < h′′(1)
c) h′′(1) < h′(1) < h(1)
d) h′′(1) < h(1) < h′(1)

7.(Caṕıtulo 11) Sendo g a função real definida por g(x) = 2x+1 x+5 , a expressão anaĺıtica da sua função derivada, g′, pode ser dada por:
(A) 2 (x+5)2 (B) 9 (x+5)2
(C) 6 (x+5)2 (D) 4x+11 (x+5)2
Resolução: g′(x) = (2x+1)′×(x+5)−(2x+1)×(x+5)′
(x+5)2 = 2(x+5)−(2x+1)
(x+5)2 = 9
(x+5)2
A resposta certa é a (B).

a) 2 (x+5)2
b) 9 (x+5)2
c) 6 (x+5)2
d) 4x+11 (x+5)2

11.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 9 e 11) Um produto acabou de ser lançado no mercado. Prevê-se que, nos próximos anos, o preço P , em euros, seja dado em função do tempo t, em anos, por
P (t) = 100 + 3log2 (t+ 2)
1.1 Calcule o valor do preço de lançamento e do preço para daqui a 6 anos.
Resolução:
P (t) = 100+3log2 (t+ 2)

P (0) = 100 + 3log2 (2) = 103 euros
P (6) = 100 + 3log2 (8) = 100 + 3log2 (23) = 100 + 3× 3 = 109 euros
1.2 Determine o número de anos e meses necessários para que o preço deste produto seja su- perior a e111.
Resolução:
P (t) > 111⇔ 100 + 3log2 (t+ 2) > 111⇔ 3log2 (t+ 2) > 11⇔ log2 (t+ 2) > 11 3 ⇔ t+ 2 < 2 11 3 ⇔ t > 2 11 3 − 2⇔ t > 10, 6992⇔ t ≥ 10 anos 9 meses
1.3 Mostre que P (t + 1)− P (t) = 3log2 (1 + 1 t+2 ) e interprete o significado desta diferença no contexto da situação apresentada.
Resolução:
P (t+ 1)− P (t) = [100 + 3log2 (t+ 3)]− [100 + 3log2 (t+ 2)] = 3 [log2 (t+ 3)− log2 (t+ 2)] = 3log2 (t+3 t+2 ) = 3log2 (t+2)+1 t+2 = 3log2 (1 + 1 t+2 )
Aumento anual do preço diminui com t e tende a estabilizar porque :
lim t→+∞ [P (t+ 1)− P (t)] = lim t→+∞ [ 3log2 (1 + 1 t+2 )] = 3log2 (1) = 0
1.4 Calcule a taxa de crescimento do preço deste produto daqui a 5 anos.
Resolução:
P ′(t) = [100 + 3log2

3.(Caṕıtulo 5 e 9) Caracterize a função inversa da função real definida pela expressão f(x) = 5 − 3ex−2. Entende-se por caracterização a indicação da respetiva expressão anaĺıtica, bem como do seu domı́nio e contradomı́nio.

Matemática Aplicada

4.(Caṕıtulo 8) Mostre que é válida a igualdade: cos(3x) = cos(x) [4cos2(x)− 3]

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3.(Caṕıtulo 5 e 9) Caracterize a função inversa da função real definida pela expressão f(x) = 5 − 3ex−2. Entende-se por caracterização a indicação da respetiva expressão anaĺıtica, bem como do seu domı́nio e contradomı́nio.

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