Determine a inclinação da reta que passa pela origem e divide a região limitada pela parábola 2 y  x x e o eixo x em duas regiões de áreas iguais

Para determinar a inclinação da reta que passa pela origem e divide a região limitada pela parábola 2y = -x^2 e o eixo x em duas regiões de áreas iguais, podemos utilizar o método de integração. Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção da parábola com o eixo x. Para isso, igualamos 2y = -x^2 a zero e obtemos x = 0 e x = ±√2. Em seguida, podemos calcular a área total da região limitada pela parábola e o eixo x, que é dada por: A = ∫(√2)(-√2) (-x^2/2) dx = 2√2/3 Para dividir essa área em duas partes iguais, precisamos encontrar a equação da reta que passa pela origem e divide a área total em duas partes iguais. Podemos escrever a equação da reta na forma y = mx e substituir na equação da área para obter a inclinação m: 2√2/3 = ∫(√2)(0) (mx - x^2/2) dx + ∫0(-√2) (mx - x^2/2) dx Simplificando, temos: 2√2/3 = ∫(√2)(0) (mx - x^2/2) dx - ∫0(√2) (mx - x^2/2) dx 2√2/3 = (√2)m(√2)^2/2 - (√2)^3/6 - (√2)m(√2)^2/2 - (√2)^3/6 2√2/3 = -2(√2)^3/6 m = -1/2 Portanto, a inclinação da reta que passa pela origem e divide a região limitada pela parábola 2y = -x^2 e o eixo x em duas regiões de áreas iguais é -1/2.