Questão resolvida - A base de um sólido é a região do plano xOy, limitada pela reta y1x e pelos eixos coordenados, e suas secções transversais ao eixo Ox são triângulos equiláteros, determine seu volu

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• A base de um sólido é a região do plano xOy, limitada pela reta e pelos y = 1− x
eixos
 coordenados, e suas secções transversais ao eixo Ox são triângulos equiláteros, 
determine seu volume.
 
Resolução:
 
Se , temos que y é: x = 0 y = 1- 0 y = 1→
 
Se , temos que x é: y = 0 0 = 1- x 1- x = 0 -x = -1 × -1 x = 1→ → ( ) ( ) →
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os lados dos infinitos triângulos equiláteros, que são seccões paralelas ao eixo 0x do sólido, 
 
 
-1.5 -1 -0.5 0.5 10
0.5
1
y
x
Base do
sólido
y = 1- x
coincidem com os infinitos valores possíves de entre 0 e 1;yn
 
 
A área de um triângulo equilátero é dado pela expressão:
 
A =t
l
4
3 2
 
Os lados dos triângulo equilátero são os enumeros valores dado pela expressão;
 
y = 1− x
 
Substituindo 2 em 1 temos que a área dos quadrados que formam as seções é;
 
A x = = ⋅ 1- 2x+ x( )
1− x
4
3( )2
4
3
2
 
Queremos a soma dos infinitos valores de áreas das seções, essa soma fornece o volume 
do sólido. Fazemos isso através da integral:
 
V = 1- 2x+ x dx
1
0
∫
4
3
2
Resolvendo a integral, fica;
 
 
-1.5 -1 -0.5 0.5 10
0.5
1
y
x
Base do
sólido
y = 1- x
yn
xn
(1)
(2)
 
V = 1 - 2x + x dx = 1 - 2x + x dx = x - - = x - x +
1
0
∫
4
3 2
4
3 1
0
∫ 2
4
3 2x
2
2 x
3
3 1
0 4
3 2 x
3
3 1
0
 
V = 1 - 1 + - 0 - 0 +
4
3
( )2
1
3
( )3
4
3
( )2
0
3
( )3
 
V = 1 - 1 + V = ⋅ V = u. v. 
4
3 1
3
→
4
3 1
3
→
12
3
 
 
(Resposta )