22. (OCM2004) A cada aresta de um poliedro convexo P associamos o inteiro -1. A cada vértice associamos o produto dos números associados às arestas...

Para provar que PS é da forma 4k-2, onde k é um número inteiro não negativo, podemos usar a Fórmula de Euler para poliedros convexos, que é dada por: V - A + F = 2 Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro convexo. Podemos reescrever essa fórmula como: V - A + (A/2) = 2 Simplificando, temos: V - (A/2) = 2 Multiplicando ambos os lados por -1, temos: (A/2) - V = -2 Agora, vamos somar essa equação com a equação que define PS: PS = Σ(Produto dos números associados às arestas incidentes em cada vértice) + Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) PS = Σ(Produto dos números associados às arestas incidentes em cada vértice) + Σ(Produto dos números associados às arestas) PS = Σ(Produto dos números associados às arestas incidentes em cada vértice) - A Substituindo A por 2V + 2 - 2F (que é a fórmula de Euler para poliedros convexos), temos: PS = Σ(Produto dos números associados às arestas incidentes em cada vértice) - 2V - 2 + 2F PS = Σ(Produto dos números associados às arestas incidentes em cada vértice) - 2(V - F) Agora, vamos observar que cada aresta é incidente em exatamente dois vértices. Portanto, cada produto dos números associados às arestas incidentes em um vértice aparece duas vezes na soma Σ(Produto dos números associados às arestas incidentes em cada vértice). Podemos escrever essa soma como: Σ(Produto dos números associados às arestas incidentes em cada vértice) = 2Σ(Produto dos números associados às arestas) Substituindo na equação para PS, temos: PS = 2Σ(Produto dos números associados às arestas) - 2(V - F) PS = 2Σ(-1) - 2(V - F) PS = -2(A - F) PS = -2(2V + 2 - 2F - F) PS = -4V + 4F + 8 PS = 4(F - V) + 8 Agora, vamos observar que cada face é delimitada por pelo menos três arestas. Portanto, cada produto dos números associados aos lados de uma face aparece pelo menos três vezes na soma Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face). Podemos escrever essa soma como: Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) = (1/3)Σ(Produto dos números associados às arestas) Substituindo na equação para PS, temos: PS = Σ(Produto dos números associados às arestas) - 2V - 2 + 2F PS = (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) - 2V - 2 + 2F PS = (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) - 2(V - F) PS = (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) - 2A Substituindo A por 2V + 2 - 2F, temos: PS = (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) - 4V - 4 + 4F PS = (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) - 4(V - F) PS = (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) - 4(A - F) PS = (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) + 4F - 4V PS = 4(F - V) + (3/2)Σ(Produto dos números associados aos lados de cada face) Substituindo PS = 4(F - V) + 8, temos: 4(F - V) + 8 = 4k - 2 4(F - V) = 4k - 10 F - V = k - 2.5 Como F e V são números inteiros, F - V é um número inteiro. Portanto, k - 2.5 deve ser um número inteiro. Isso só é possível se k for da forma 4n ou 4n + 2, onde n é um número inteiro não negativo. Portanto, PS é da forma 4k - 2, onde k é um número inteiro não negativo. Isso prova a parte (a) da questão. Para provar a parte (b), basta construir um poliedro convexo com PS = 4k - 2 para cada valor de k da forma 4n ou 4n + 2. Por exemplo, para k = 0, podemos construir um tetraedro regular, onde cada aresta tem número associado -1. Para k = 4, podemos construir um cubo, onde cada aresta tem número associado -1. Para k = 8, podemos construir um dodecaedro regular, onde cada aresta tem número associado -1. E assim por diante. Portanto, para cada k da forma 4n ou 4n + 2, existe um poliedro convexo com PS = 4k - 2.