26. O polinômio f satisfaz f (6+ x ) = f (6− x ) para todo x real. Se f (x ) = 0 possui exatamente quatro raízes reais distintas. Qual a soma dessa...

Podemos começar resolvendo a equação f(6+x) = f(6-x). Substituindo x por -x, temos: f(6-x) = f(6-(-x)) f(6-x) = f(6+x) Como f(6+x) = f(6-x), temos: f(6+x) = f(6+x) Isso significa que f(x) é um polinômio par, ou seja, seus coeficientes ímpares são iguais a zero. Como f(x) = 0 possui exatamente quatro raízes reais distintas, sabemos que f(x) é um polinômio de grau 4. Seja r1, r2, r3 e r4 as raízes reais distintas de f(x) = 0. Pelo teorema fundamental da álgebra, podemos escrever f(x) como: f(x) = a(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4) onde a é o coeficiente do termo de maior grau de f(x). Como f(x) é um polinômio par, temos que a é par. Além disso, a soma das raízes de f(x) é dada por: r1 + r2 + r3 + r4 = - (coeficiente do termo de grau 3 de f(x)) / a Como f(x) é um polinômio de grau 4, o coeficiente do termo de grau 3 é zero. Portanto, a soma das raízes de f(x) é zero. Resposta: A soma das raízes de f(x) = 0 é zero.