Grátis: 16. A base de um paralelepípedo reto é um paralelogramo, cujos lados são iguais a a e b. O ângulo obtuso entre os lados a e b é igual a φ e a diago... – Questões Respondidas

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16. A base de um paralelepípedo reto é um paralelogramo, cujos lados são iguais a a e b. O ângulo obtuso entre os lados a e b é igual a φ e a diagonal menor desse paralelepípedo é igual a diagonal maior da base. Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por 2ab.sen(φ)cos(φ).

Aprimorando com Questões

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Lista 2_ Prismas

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Respostas

Ed

há 2 anos

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do volume do paralelepípedo, que é dada por V = abc, onde a, b e c são as medidas dos lados do paralelepípedo. Sabemos que a diagonal menor do paralelepípedo é igual à diagonal maior da base, ou seja, a diagonal menor tem medida √(a² + b²). Além disso, sabemos que o ângulo entre os lados a e b é φ. Podemos utilizar a trigonometria para determinar as medidas dos outros lados do paralelepípedo. Temos que: c = √(a² + b²) b = c.cos(φ) = √(a² + b²).cos(φ) a = c.sen(φ) = √(a² + b²).sen(φ) Substituindo essas medidas na fórmula do volume, temos: V = abc = √(a² + b²).cos(φ) . √(a² + b²).sen(φ) . √(a² + b²) V = (a² + b²).cos(φ).sen(φ).√(a² + b²) V = 2ab.sen(φ).cos(φ) Portanto, o volume do paralelepípedo é dado por 2ab.sen(φ).cos(φ).

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1. Um prisma hexagonal regular é cortado por um plano perpendicular a uma aresta de uma base, segundo um quadrado de diagonal 6 m. Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume do prisma.

3. (Esc. Naval 2013) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é a) 25/33 b) 33/23 c) 53/22 d) 23/52 e) 52/33

4. (Uern 2015) A peça geométrica, desenvolvida através de um software de modelagem em três dimensões por um estudante do curso de engenharia e estagiário de uma grande indústria, é formada a partir de dois prismas de base hexagonal regular e assemelha-se ao formato de uma porca de parafuso. Considerando que o lado do hexágono maior mede 8cm; que o comprimento do prisma é igual a 35cm; e, que o lado do hexágono menor mede 6cm, então o volume da peça, de forma que se possa calcular, posteriormente, a quantidade de matéria-prima necessária à sua produção em massa em determinado período de tempo é, em 3cm: (Considere 3 1,7. ) a) 1.064. b) 1.785. c) 2.127. d) 2.499.

5. (Ime 2015) Em um prisma oblíquo ABCDEFA'B'C'D'E'F', cuja base ABCDEF é um hexágono regular de lado a, a face lateral EFF'E' está inclinada 45 em relação à base, e a projeção ortogonal da aresta F'E' sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma é: a) 33√3a²/2 b) 39a²/4 c) 35√3a³/3 d) 39a²/2 e) 35a²/2

7. (Unicamp 2016) Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os comprimentos das arestas, a e b, são tais que a > b > 0. Determine a razão r = a/b para a qual o volume de 1S é igual à soma dos volumes de 2S e 3S. Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a 60 cm, determine a soma das áreas de superfície dos três sólidos.

8. (Uerj 2011) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relação ao prisma, considere: - cada um dos ângulos Â, , e da base superior mede 120º; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85

9. (Ufg 2000) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma.

10. (Insper 2016) Um tanque, inicialmente vazio, tem a forma de prisma triangular regular e suas paredes têm espessuras desprezíveis. Após algum tempo despejando água no tanque, um cano de vazão 33√3 m³ por minuto o encheu parcialmente, tendo a água ocupado o espaço de um prisma triangular regular, conforme indicado na figura. Funcionando na mesma vazão, o tempo necessário para que o cano acabe de encher o tanque é de 5 minutos e t segundos, sendo que t é um número no intervalo a) [1,12]. b) [13, 24]. c) [25, 36]. d) [37, 48]. e) [49, 59].

12. (INSTITUTO FÍSICO TÉCNICO DE MOSCOU) O volume de um prisma triangular regular é v, o ângulo entre as diagonais de duas faces, traçadas de um mesmo vértice é igual a α. Mostre que o lado ( ) da base desse prisma é dado pela em função de v e α pela formula: 3/2 * 8.v.sen(α/2) - 3/12.sen(α/2).

13. (INTITUTO FÍSICO TÉCNICO DE MOSCOU) Em um prisma quadrangular regular traçam-se duas secções paralelas uma a outra. Uma delas passa pelos pontos médios de dois lados consecutivos da base e pelo ponto médio do eixo. A outra divide o eixo na proporção de 1:3. Sabendo que a área da primeira secção é igual a S, achar a área da segunda.