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(IME) Determine a equação cartesiana da elipse de focos F(2, 0) e F'(-2, 0), tal que o valor máximo da área do triângulo definido pelos raios vetores de um mesmo ponto da curva e o eixo dos XX seja igual a oito unidades de área.

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Lista 4_ Elipse

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Para determinar a equação cartesiana da elipse de focos F(2,0) e F'(-2,0), podemos utilizar a definição da elipse como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante. Assim, temos: 2a = distância entre os focos = 2.2 = 4 a = 2 Para encontrar o valor de b, podemos utilizar a relação entre os semieixos da elipse e a área do triângulo formado pelos raios vetores de um mesmo ponto da curva e o eixo dos XX. Sabemos que a área máxima desse triângulo é 8, então: Área do triângulo = (2a.b)/2 = 2ab = 8 ab = 4 Substituindo o valor de a encontrado anteriormente, temos: 2b = 4/b b² = 2 b = √2 Assim, a equação cartesiana da elipse é: (x²/4) + (y²/2) = 1

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1.(IME 2016) Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH em função de a, a medida da aresta do cubo.

2.(IME) São dadas duas esferas , (e1) de centro O1 e raio 3, e (e2) de centro O2 de raio 9. A distancia entre os centros e 20. Estas esferas s são focais de uma secção elíptica (E) d e um cone de revolução. Determine a excentricidade e distancia focal de (E).

3 .(IME) E dada uma elipse de eixo focal 2.a e excentricidade igual a √2/3. Essa elipse e a secção de um cone de revolução. O ângulo que o plano da Elipse forma com o eixo do cone é ???? = 45????. Pede-se em função de a a distancia do vértice v do cone ao plano da elipse

4. (IME 2014) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a 3/2. Considere que os pontos A , B , C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y=x e y=-x. A área do quadrilátero ABCD é

a) 8
b) 16
c) 16√3
d) 16√5
e) 16√7

5.(Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação 2x^2 - 9y + 8x - 54y + 88 = 0 é correto afirmar que

a) tem raio igual a 1.
b) tangencia o eixo das abscissas.
c) é secante ao eixo das ordenadas.
d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0.

6.(IME 2013) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

a) 2x^2 - 249x + 9y – 280x + 120y – 441 = 0
b) 2x^2 - 249x – 406x – 49y + 441 = 0
c) 2x^2 - 29x + 49y – 441 = 0
d) 2x^2 - 29x + 9y + 120y – 441 = 0
e) 2x^2 - 29x – 49y – 441 = 0

(UNICAMP) Dado uma elipse de semi-eixos a e b calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.

(AFA) Na figura abaixo, F1 e F2 são focos da elipse 25x^2 + 9y^2 = 1. O ponto C, de coordenadas (3, 2), pertence ao segmento MN. Os segmentos AC, CB e MN são, respectivamente, paralelos aos segmentos 21FF1 e PF2, PF. A área da figura sombreada, em unidades de área, é

a)3
b)6
c)9
d)12

(AFA) Sobre o triângulo PF1F2 onde P(2, 2) e F1 e F2 são focos da elipse 25x^2 + 9y^2 = 1, é correto afirmar que

a) é isósceles.
b) é obtusângulo.
c) tem área igual a 16
d) tem perímetro igual a 28

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3 .(IME) E dada uma elipse de eixo focal 2.a e excentricidade igual a √2/3. Essa elipse e a secção de um cone de revolução. O ângulo que o plano da Elipse forma com o eixo do cone é ???? = 45????. Pede-se em função de a a distancia do vértice v do cone ao plano da elipse

5.(Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação 2x^2 - 9y + 8x - 54y + 88 = 0 é correto afirmar quea) tem raio igual a 1.b) tangencia o eixo das abscissas.c) é secante ao eixo das ordenadas.d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0.

(UNICAMP) Dado uma elipse de semi-eixos a e b calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.

(AFA) Na figura abaixo, F1 e F2 são focos da elipse 25x^2 + 9y^2 = 1. O ponto C, de coordenadas (3, 2), pertence ao segmento MN. Os segmentos AC, CB e MN são, respectivamente, paralelos aos segmentos 21FF1 e PF2, PF. A área da figura sombreada, em unidades de área, éa)3b)6c)9d)12

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a)3
b)6
c)9
d)12

(AFA) Sobre o triângulo PF1F2 onde P(2, 2) e F1 e F2 são focos da elipse 25x^2 + 9y^2 = 1, é correto afirmar que

a) é isósceles.
b) é obtusângulo.
c) tem área igual a 16
d) tem perímetro igual a 28