Sejam b e c inteiros positivos tais que as raízes reais x1 e x2 da equação quadrática 2x 2+ b x + c = 0 satisfazem x1− x2 = 30. Determine o menor v...

Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática 2x² + bx + c = 0: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a Como as raízes são reais, o discriminante (b² - 4ac) deve ser maior ou igual a zero: b² - 4ac ≥ 0 Podemos reescrever a equação acima como: c ≥ (b² / 4a) Como x1 e x2 são raízes da equação, temos: 2x1² + bx1 + c = 0 2x2² + bx2 + c = 0 Subtraindo as duas equações, temos: 2(x1² - x2²) + b(x1 - x2) = 0 2(x1 + x2)(x1 - x2) + 30b = 0 2(x1 + x2)(30) + 30b = 0 x1 + x2 = -15b Substituindo x1 + x2 por -15b na primeira equação, temos: 2x1x2 + b(x1 + x2) + c = 0 2x1x2 - 15b² + c = 0 c = 15b² - 2x1x2 Substituindo c na desigualdade c ≥ (b² / 4a), temos: 15b² - 2x1x2 ≥ (b² / 4a) 60a b² - 8ax1x2 ≥ b² b² - 8ax1x2 / 60a ≤ 0 Como x1 - x2 = 30, temos: x1 + x2 = -15b x1 - x2 = 30 Somando as duas equações, temos: 2x1 = 15b + 30 x1 = (15b + 30) / 2 x1 = 7,5b + 15 Substituindo x1 em c = 15b² - 2x1x2, temos: c = 15b² - 2(7,5b + 15)x2 c = 15b² - 15bx2 - 30x2 Substituindo c e x1 - x2 = 30 na expressão b² - 8ax1x2 / 60a ≤ 0, temos: b² - 4(2)(7,5b + 15)(7,5b - 15) / 60(2) ≤ 0 b² - (15b + 30)(15b - 30) / 40 ≤ 0 b² - (225b² - 900) / 40 ≤ 0 b² - 225b² + 900 ≤ 0 -224b² + 900 ≤ 0 b² ≥ 4,02 Como b é um inteiro positivo, o menor valor possível de b é 3. Substituindo b = 3 na expressão c = 15b² - 2x1x2, temos: c = 15(3)² - 2x(7,5(3) + 15) c = 135 Portanto, o menor valor possível de b + c é 3 + 135 = 138.