48. (IME – 16) O valor do somatório abaixo é: 15 2k 1 k 1 Img(cis ) 36 π   Observação: Img(w) é a parte imaginária de w. a) 2 3 4 sen 36 π ...

Podemos reescrever a expressão do somatório como: $\sum_{k=1}^{15} 2k\operatorname{Img}(\operatorname{cis}(36^\circ))^-$ Onde $\operatorname{cis}(36^\circ) = \cos(36^\circ) + i\sin(36^\circ)$ e $\operatorname{Img}(w)$ é a parte imaginária de $w$. Note que $\operatorname{Img}(\operatorname{cis}(36^\circ)) = \sin(36^\circ)$. Assim, podemos reescrever o somatório como: $\sum_{k=1}^{15} 2k\sin(36^\circ)^-$ Podemos tirar o fator constante $2\sin(36^\circ)^-$ da soma: $2\sin(36^\circ)^-\sum_{k=1}^{15} k$ A soma dos primeiros $n$ números naturais é dada por: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ Assim, temos: $2\sin(36^\circ)^-\sum_{k=1}^{15} k = 2\sin(36^\circ)^-\frac{15\cdot16}{2} = 240\sin(36^\circ)^-$ Usando a identidade trigonométrica $\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$, temos: $240\sin(36^\circ)^- = 240\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4} = 60\sqrt{5}-60$ Portanto, a alternativa correta é a letra A) $+2\sqrt{5}-3$.