41. Calcule: a) cos cos cos cos cos cos      2 4 8 16 32 65 65 65 65 65 65 b) cos cos cos cos cos cos cos       2 3 4 5 6 7 15 15 15 1...

Para calcular essas expressões, é necessário utilizar a fórmula de produto para cossenos: cos(a)cos(b) = (cos(a+b) + cos(a-b))/2 a) Para a primeira expressão, temos: cos(cos(cos(cos(cos(cos(π/2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 65)))))) = cos(cos(cos(cos(cos(cos(π/2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 65)))))) cos(π/2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 65) = cos(π/4)cos(2^3)cos(2^4)cos(2^5)cos(2^6)cos(65) cos(π/4) = √2/2 cos(2^3) = cos(8) cos(2^4) = cos(16) cos(2^5) = cos(32) cos(2^6) = cos(64) cos(65) = cos(64 + 1) Usando a fórmula de produto para cossenos, temos: cos(π/4)cos(8)cos(16)cos(32)cos(64)cos(64 + 1) = (cos(π/4 + 8) + cos(π/4 - 8))/2 * (cos(16 + 32) + cos(16 - 32))/2 * (cos(64 + 64 + 1) + cos(64 + 64 - 1))/2 cos(π/4 + 8) = cos(π/4)cos(8) - sen(π/4)sen(8) = (√2/2)cos(8) - (√2/2)sen(8) cos(π/4 - 8) = cos(π/4)cos(8) + sen(π/4)sen(8) = (√2/2)cos(8) + (√2/2)sen(8) cos(16 + 32) = cos(16)cos(32) - sen(16)sen(32) cos(16 - 32) = cos(16)cos(32) + sen(16)sen(32) cos(64 + 64 + 1) = cos(64)cos(64) - sen(64)sen(64)cos(1) = cos^2(64) - sen^2(64)cos(1) Substituindo na expressão original, temos: (cos(π/4 + 8) + cos(π/4 - 8))/2 * (cos(16 + 32) + cos(16 - 32))/2 * (cos^2(64) - sen^2(64)cos(1) + cos(64)sen(64)sen(64)) = ((√2/2)cos(8) + (√2/2)sen(8) + cos(16)cos(32) - sen(16)sen(32))/2 * (cos(48) + cos(-16))/2 * (cos^2(64) - sen^2(64)cos(1) + cos(64)sen(64)sen(64)) b) Para a segunda expressão, temos: cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(π/2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 7/2))))))) = cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(π/2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 7/2))))))) cos(π/2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 7/2) = cos(π/4)cos(2^3)cos(2^4)cos(2^5)cos(2^6)cos(7/2) cos(π/4) = √2/2 cos(2^3) = cos(8) cos(2^4) = cos(16) cos(2^5) = cos(32) cos(2^6) = cos(64) cos(7/2) = cos(3.5) Usando a fórmula de produto para cossenos, temos: cos(π/4)cos(8)cos(16)cos(32)cos(64)cos(3.5) = (cos(π/4 + 8) + cos(π/4 - 8))/2 * (cos(16 + 32) + cos(16 - 32))/2 * (cos(64 + 3.5) + cos(64 - 3.5))/2 cos(π/4 + 8) = cos(π/4)cos(8) - sen(π/4)sen(8) = (√2/2)cos(8) - (√2/2)sen(8) cos(π/4 - 8) = cos(π/4)cos(8) + sen(π/4)sen(8) = (√2/2)cos(8) + (√2/2)sen(8) cos(16 + 32) = cos(16)cos(32) - sen(16)sen(32) cos(16 - 32) = cos(16)cos(32) + sen(16)sen(32) cos(64 + 3.5) = cos(64)cos(3.5) - sen(64)sen(3.5) Substituindo na expressão original, temos: (cos(π/4 + 8) + cos(π/4 - 8))/2 * (cos(16 + 32) + cos(16 - 32))/2 * (cos(64)cos(3.5) - sen(64)sen(3.5)) = ((√2/2)cos(8) + (√2/2)sen(8) + cos(16)cos(32) - sen(16)sen(32))/2 * (cos(48) + cos(-16))/2 * (cos(64)cos(3.5) - sen(64)sen(3.5))