(Uem 2017) Acerca do polinômio 2????3 − 3????2 − 3???? + 2, assinale o que for correto. 01) Uma das raízes desse polinômio é 1/2. 02) Ele é divisíve...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de D'Alembert, que afirma que se um número a é raiz de um polinômio P(x), então x - a é um fator desse polinômio. Assim, podemos testar as alternativas: 01) Uma das raízes desse polinômio é 1/2. Substituindo x = 1/2 no polinômio, temos: 2(1/2)^3 - 3(1/2)^2 - 3(1/2) + 2 = 0 Logo, 1/2 é uma raiz do polinômio. 02) Ele é divisível pelo polinômio x^2 - x - 2. Podemos fazer a divisão do polinômio 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 por x^2 - x - 2: 2x - 1 x^2 - x - 2 | 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 2x^3 - 2x^2 - 4x --------------- x^2 - 3x x^2 - x - 2 -------- -2x + 2 -2x + 2 ------- 0 Logo, o polinômio é divisível por x^2 - x - 2. 04) A soma de suas raízes é 3. Pelo Teorema de Viète, a soma das raízes de um polinômio de grau 3 é dada por -b/a, onde b é o coeficiente do termo de grau 2 e a é o coeficiente do termo de grau 3. Assim, a soma das raízes do polinômio 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 é -(-3)/2 = 3/2, o que torna essa alternativa incorreta. 08) Todas as raízes desse polinômio são reais. Não há como determinar se todas as raízes do polinômio são reais apenas com as informações fornecidas, portanto essa alternativa está incorreta. 16) Ele não pode ser fatorado como produto de três polinômios de grau 1 com coeficientes racionais. Podemos fatorar o polinômio 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 como (2x - 1)(x^2 - x - 2), portanto ele pode ser fatorado como produto de dois polinômios de grau 1 e um polinômio de grau 2 com coeficientes racionais. Logo, essa alternativa está incorreta. Assim, a alternativa correta é a letra a) 01) e 02) estão corretas.