19. A expressão senx / (1+cosx) + (1+cosx) / senx, verificadas as condições de existência, é igual a:

a) senx / 2
b) 1 / cosx
c) 2 / senx
d) − senx / 2
e) 2 / cosx

Question

19.  A expressão senx / (1+cosx) + (1+cosx) / senx, verificadas as condições de existência, é igual a:

a) senx / 2
b) 1 / cosx
c) 2 / senx
d) − se...

Ed · Answer

Vamos simplificar a expressão dada:

$$
\frac{\sen x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sen x}
$$

Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que será $(1 + \cos x) \cdot \sen x$. Assim, reescrevemos a expressão:

$$
\frac{\sen^2 x + (1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x) \cdot \sen x}
$$

Agora, vamos expandir o numerador:

$$
(1 + \cos x)^2 = 1 + 2\cos x + \cos^2 x
$$

Portanto, o numerador se torna:

$$
\sen^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x
$$

Sabemos que $\sen^2 x + \cos^2 x = 1$, então substituímos:

$$
1 + 1 + 2\cos x = 2 + 2\cos x
$$

Assim, a expressão fica:

$$
\frac{2(1 + \cos x)}{(1 + \cos x) \cdot \sen x}
$$

Cancelando $(1 + \cos x)$ (desde que $1 + \cos x \neq 0$), obtemos:

$$
\frac{2}{\sen x}
$$

Portanto, a expressão original é igual a:

$$
\frac{2}{\sen x}
$$

A alternativa correta é: c) $ \frac{2}{\sen x} $.

Ed · Answer

Vamos simplificar a expressão:

senx / (1+cosx) + (1+cosx) / senx

Multiplicando o primeiro termo por senx/senx e o segundo termo por (1+cosx)/(1+cosx), temos:

sen²x / (senx + senx.cosx) + (1+cosx)² / (senx.cosx)

Agora, vamos somar as frações:

[sen²x(senx.cosx) + (1+cosx)²(senx + senx.cosx)] / [(senx + senx.cosx)(senx.cosx)]

Simplificando:

[senx.cosx(sen²x + (1+cosx)²)] / [senx.cosx(senx + cosx)]

Cancelando senx.cosx:

[sen²x + (1+cosx)²] / [senx + cosx]

Expandindo (1+cosx)²:

[sen²x + 1 + 2cosx + cos²x] / [senx + cosx]

Simplificando:

[2 + 2cosx] / [senx + cosx]

Dividindo por 2:

[1 + cosx] / [senx + cosx]

Multiplicando por (1-cosx)/(1-cosx):

[(1+cosx)(1-cosx)] / [(senx + cosx)(1-cosx)]

Simplificando:

sen²x / [senx(1-cosx)]

Dividindo senx por senx:

senx / [senx(1-cosx)] + (1-cosx) / [senx(1-cosx)]

Simplificando:

1 / (1-cosx) + 1 / senx

MMC entre 1-cosx e senx é senx(1-cosx), então:

senx / [senx(1-cosx)] + (1-cosx) / [senx(1-cosx)] = [senx + (1-cosx)] / [senx(1-cosx)]

Simplificando:

[senx + 1 - cosx] / [senx(1-cosx)]

Resposta: letra E) 2 / cosx.

Matemática

08 09 - (Lista - Trigonometria IV)

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08 09 - (Lista - Trigonometria IV)

2. UFV-MG O número de soluções da equação ????????????²???? – ???????????????? – 2 = 0, para 0 ≤ ???? < 2????, é:

a) 4
b) 2
c) 0
d) 1
e) 3

3. Resolva a equação 4????????????²???? – 1 = 0, no intervalo 0 ≤ ???? < 2????, e dê a soma de suas raízes.

4. Resolva, no intervalo 0 ≤ ???? < 2????, a equação 1 + 2 ???????????? ???? – 4 ????????????²???? – 8????????????³???? = 0

5. FGV-SP Os valores de m que satisfazem simultaneamente as relações senx = √m+1 / 2 e ????????????x = m−1 / 2 são tais que seu produto vale:

a) −3
b) −2
c) −1
d) 0
e) n.d.a.

9. (Uece 2017) A soma dos elementos do conjunto formado por todas as soluções, no intervalo [0; 2????] da equação ????????????4???? − 3????????????2???? + 1 = 0 é igual a

a) 3????
b) 4????
c) 5????
d) 6????

10. (Udesc 2018) A soma de todas as raízes reais da função ????(????) = ????????????????2(????) − 5 / 4????????????2(????) + 2, pertencentes ao intervalo [ ???? / 2; 3????] é igual a:

a) 4????
b) 53???? / 6
c) 9????
d) 35???? / 6
e) 73???? / 6

11. (Unicamp 2018) Seja ???? um número real tal que sen x cos x = 0,2. Logo, | sen x cos x |− é igual a

a) 0,5
b) 0,8
c) 1,1
d) 1,4

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4. Resolva, no intervalo 0 ≤ ???? < 2????, a equação 1 + 2 ???????????? ???? – 4 ????????????²???? – 8????????????³???? = 0

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10. (Udesc 2018) A soma de todas as raízes reais da função ????(????) = ????????????????2(????) − 5 / 4????????????2(????) + 2, pertencentes ao intervalo [ ???? / 2; 3????] é igual a:a) 4????b) 53???? / 6c) 9????d) 35???? / 6e) 73???? / 6

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b) 53???? / 6
c) 9????
d) 35???? / 6
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