16. (Epcar (Afa) 2019) Seja a equação trigonométrica ????????3???? − 2????????2???? − ???????????? + 2 = 0, com ???? ∈ ([0,2????[− {????/2, 3????/2}). Sobre a quantidade de ...

Podemos resolver essa equação trigonométrica utilizando a fórmula de Cardano-Tartaglia. Primeiro, fazemos a substituição ???? = cos(θ), e a equação se torna uma equação cúbica em cos(θ): cos^3(θ) - 2cos^2(θ) - cos(θ) + 2 = 0 Em seguida, fazemos a substituição cos(θ) = t + 1/t, e a equação se torna uma equação quadrática em t: t^2 - cos(θ)t + 1 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos: t = (cos(θ) ± √(cos^2(θ) - 4))/2 Substituindo cos(θ) de volta, temos: t = (x ± √(x^2 - 4))/2, onde x = cos(θ) Agora, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem as condições dadas no enunciado. Temos: x ∈ ([0,2π[ - {π/2, 3π/2}) Isso significa que x pode assumir qualquer valor entre 0 e 2π, exceto π/2 e 3π/2. Substituindo esses valores na equação acima, encontramos: x = cos(0) = 1 x = cos(π/3) = 1/2 x = cos(2π/3) = -1/2 x = cos(π) = -1 x = cos(4π/3) = -1/2 x = cos(5π/3) = 1/2 Portanto, existem exatamente 5 valores distintos de x que satisfazem a equação trigonométrica dada, e a alternativa correta é a letra c) cinco.