3. (Uerj 2019) No plano cartesiano, está representada a circunferência de centro P e raio 2. O ponto Q da circunferência, que é o mais distante...

Para encontrar o ponto Q, que é o mais distante da origem, precisamos encontrar o ponto da circunferência que tem a maior distância até a origem. Sabemos que o centro da circunferência é P(0,0) e o raio é 2. Podemos usar a equação da circunferência para encontrar as coordenadas de Q: x² + y² = r² Substituindo os valores, temos: x² + y² = 2² x² + y² = 4 Sabemos que o ponto Q está na circunferência, então podemos substituir as coordenadas de Q na equação da circunferência: x² + y² = 4 Para encontrar o ponto mais distante da origem, precisamos maximizar a distância entre Q e a origem. Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) Substituindo as coordenadas de Q, temos: d = √((x - 0)² + (y - 0)²) d = √(x² + y²) Agora podemos maximizar a distância d, sujeito à equação da circunferência x² + y² = 4. Podemos usar o método de Lagrange para encontrar o máximo de d: L(x, y, λ) = √(x² + y²) + λ(x² + y² - 4) Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, temos: dL/dx = x/√(x² + y²) + 2λx = 0 dL/dy = y/√(x² + y²) + 2λy = 0 dL/dλ = x² + y² - 4 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: x = 4/√5 y = 3/√5 Portanto, as coordenadas do ponto Q são (4/√5, 3/√5), que corresponde à alternativa a).