7. (Ufg 2003) Um recipiente sem tampa possui a forma de um cilindro circular reto e está parcialmente preenchido com água. O raio da base desse cil...

Vamos analisar cada item: a) O volume da região não ocupada pela água no cilindro é 300 cm³. Para calcular o volume não ocupado pela água, precisamos subtrair o volume da água do volume total do cilindro. O volume do cilindro é dado por V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura. Substituindo os valores, temos V = π(5)²(20) = 500π cm³. Já o volume da água é 4/5 desse valor, ou seja, (4/5) x 500π = 400π cm³. Portanto, o volume não ocupado pela água é V - 400π = 500π - 400π = 100π cm³. Logo, o item está incorreto. b) O ângulo ө mede 45°. Na figura, podemos observar que o triângulo formado pela geratriz AB, a altura h e a distância entre o ponto A e a vertical que passa pelo ponto B é retângulo. Como a tangente de um ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, temos que tg(ө) = h/(AB - 5). Além disso, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida de AB: AB² = h² + (AB - 5)². Substituindo AB² na primeira equação, temos tg(ө) = h/(AB - 5) = h/√(h² + (AB - 5)² - 25). Substituindo os valores conhecidos, temos tg(ө) = 3/4, ou seja, ө = arctg(3/4) ≈ 36,87°. Portanto, o item está incorreto. c) A altura h mede 15 cm. Podemos usar a mesma equação do item anterior para encontrar a altura h: AB² = h² + (AB - 5)². Substituindo AB = 12 cm (como veremos no próximo item), temos h² + 49 = 144, ou seja, h² = 95. Portanto, h ≈ 9,75 cm. Logo, o item está incorreto. d) A medida do segmento de geratriz AB, da base do cilindro até o nível da água, é 12 cm. Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida de AB: AB² = h² + (AB - 5)². Substituindo h = 15 cm (como no item c), temos AB² = 15² + 10², ou seja, AB = √325 = 5√13 cm. Portanto, a medida do segmento de geratriz AB é AB + 5 = 5√13 + 5 ≈ 12,16 cm. Logo, o item está incorreto. Portanto, nenhuma das alternativas está correta.