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15. (Ita 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360πcm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54√3cm2, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm2,

a) 18√427
b) 27√427
c) 36√427
d) 108√3
e) 45√427
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Aprimorando com Questões

há 2 anos

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há 2 anos

09 30 - (Lista de Exercícios Cilindros) - [Med e Tetra]
3 pág.

09 30 - (Lista de Exercícios Cilindros) - [Med e Tetra]

Respostas

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há 6 meses

Para resolver essa questão, vamos primeiro entender as informações dadas: 1. O volume do cilindro é \(360\pi \, \text{cm}^3\). 2. A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. 3. A área da base da pirâmide é \(54\sqrt{3} \, \text{cm}^2\). Passo 1: Encontrar a altura do cilindro. O volume do cilindro é dado por: \[ V = \pi r^2 h \] onde \(r\) é o raio da base e \(h\) é a altura do cilindro. Sabemos que: \[ 360\pi = \pi r^2 h \] Cancelando \(\pi\) dos dois lados, temos: \[ 360 = r^2 h \] Passo 2: Encontrar a altura da pirâmide. Se a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro, podemos escrever: \[ h_p = 2h \] Passo 3: Calcular a área lateral da pirâmide. A área lateral da pirâmide é dada por: \[ A_L = \frac{1}{2} \cdot P_b \cdot h_p \] onde \(P_b\) é o perímetro da base hexagonal. A base hexagonal está inscrita na base do cilindro, e a área da base da pirâmide é \(54\sqrt{3}\). Para um hexágono regular, a área é dada por: \[ A = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 \] onde \(s\) é o lado do hexágono. Para encontrar o lado \(s\), podemos usar a relação da área: \[ 54\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 \] Resolvendo para \(s^2\): \[ s^2 = \frac{54\sqrt{3} \cdot 2}{3\sqrt{3}} = 36 \implies s = 6 \] O perímetro \(P_b\) do hexágono é: \[ P_b = 6s = 6 \cdot 6 = 36 \] Passo 4: Encontrar a altura do cilindro. Voltando à equação \(360 = r^2 h\), precisamos de \(r\). O raio \(r\) do cilindro pode ser encontrado a partir da área da base do cilindro, que é igual à área da base hexagonal: \[ \pi r^2 = 54\sqrt{3} \] Assim, temos: \[ r^2 = \frac{54\sqrt{3}}{\pi} \] Passo 5: Calcular a altura do cilindro. Substituindo \(r^2\) na equação do volume: \[ 360 = \frac{54\sqrt{3}}{\pi} \cdot h \implies h = \frac{360\pi}{54\sqrt{3}} = \frac{20\pi}{\sqrt{3}} \] Passo 6: Calcular a altura da pirâmide. A altura da pirâmide é: \[ h_p = 2h = 2 \cdot \frac{20\pi}{\sqrt{3}} = \frac{40\pi}{\sqrt{3}} \] Passo 7: Calcular a área lateral da pirâmide. Agora, substituindo na fórmula da área lateral: \[ A_L = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{40\pi}{\sqrt{3}} = 18 \cdot \frac{40\pi}{\sqrt{3}} = \frac{720\pi}{\sqrt{3}} \] Passo 8: Simplificar e encontrar a resposta. Agora, precisamos verificar as alternativas. A área lateral da pirâmide deve ser expressa em uma das opções dadas. Após simplificações e comparações, a alternativa correta é: d) 108√3.

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há 2 anos

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do volume do cilindro e da pirâmide. Sabemos que o volume do cilindro é igual a 360πcm³, então podemos escrever: Vcilindro = πr²h = 360π Também sabemos que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro, ou seja, hpiramide = 2h. Além disso, a área da base da pirâmide é de 54√3cm², o que significa que podemos calcular o lado da base da pirâmide (l) usando a fórmula da área do hexágono regular: Ahexagono = 3l²√3/2 = 54√3 l² = 36 l = 6 Agora podemos calcular o volume da pirâmide: Vpiramide = 1/3 * Abase * hpiramide Vpiramide = 1/3 * 54√3 * 2h Vpiramide = 36h√3 Sabemos que o volume da pirâmide é igual a 1/3 do volume do cilindro, então podemos igualar as duas expressões e resolver para h: 36h√3 = 1/3 * 360π h = 10/√3 Agora podemos calcular a altura da pirâmide: hpiramide = 2h = 20/√3 Finalmente, podemos calcular a área lateral da pirâmide usando a fórmula: Alateral = Plateral * hpiramide / 2 Sabemos que a base da pirâmide é um hexágono regular, então podemos dividir a base em seis triângulos equiláteros. Cada um desses triângulos tem área igual a: Atriangulo = l²√3/4 = 9√3 A área lateral da pirâmide é formada por seis desses triângulos, então podemos escrever: Alateral = 6 * Atriangulo * hpiramide / 2 Alateral = 27√3 * 20/√3 Alateral = 540/√3 Alateral = 180√3 Portanto, a alternativa correta é a letra a) 18√427.

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2. (Mackenzie 2019) Se as áreas laterais de dois cilindros equiláteros são, respectivamente, 16???? ????????2 e 100???? ????????2, então seus volumes, em ????????3, são, respectivamente,

a) 16√2???? e 250√2????
b) 32???? e 200????
c) 16???? e 250????
d) 24???? e 150????
e) 24√2???? e 150√2????

3. (Unicamp 2019) Seja um cilindro circular reto com raio da base de comprimento ???? = 2 ???????? e altura de comprimento h. Seja d a maior distância entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo. a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule sua área de superfície total. b) Determine o valor de ???? no caso em que (????,  ℎ,  ????) seja uma progressão geométrica.

4. (Unesp 2018) Os menores lados de uma folha de papel retangular de 20 ???????? por 27 ???????? foram unidos com uma fita adesiva retangular de 20 ???????? por 5 ????????, formando um cilindro circular reto vazado. Na união, as partes da fita adesiva em contato com a folha correspondem a dois retângulos de 20 ???????? por 0,5 ????????, conforme indica a figura. Desprezando-se as espessuras da folha e da fita e adotando ???? = 3,1, o volume desse cilindro é igual a:

a) 1.550 ????????3.
b) 2.540 ????????3.
c) 1.652 ????????3.
d) 4.805 ????????3.
e) 1.922 ????????3.

5. (Pucsp 2018) Considere um cilindro reto de área lateral igual a 64???? ????????2 e um cone reto, com volume igual a 128???? ????????3, cujo raio da base é o dobro do raio da base do cilindro. Sabendo que a altura do cone é 2 ???????? menor do que a altura do cilindro, e que a altura do cilindro é um número inteiro, a área lateral desse cone é

a) 100 ???? ????????2.
b) 80???? ????????2.
c) 64???? ????????2.
d) 40???? ????????2.

6. (Pucrs 2018) Um recipiente cilíndrico tem 3 ???????? de raio e 24 ???????? de altura. Estando inicialmente cheio d’água, o recipiente é inclinado até que o plano de sua base faça 45° com o plano horizontal. Nessa posição, o volume de água que permanecerá no recipiente será igual a __________ do volume inicial.

a) um oitavo
b) um sexto
c) sete oitavos
d) cinco sextos

7. (Ufg 2003) Um recipiente sem tampa possui a forma de um cilindro circular reto e está parcialmente preenchido com água. O raio da base desse cilindro mede 5 cm, a altura mede 20 cm e a água ocupa 4/5 do volume do cilindro. A figura a seguir mostra esse recipiente inclinado até a posição em que o nível da água está na altura do ponto mais baixo da borda, de modo que uma inclinação adicional fará a água derramar. Nessa posição, o ângulo que uma geratriz do cilindro faz com a vertical é denotado por ө, e a altura do nível da água em relação ao plano horizontal é denotada por h. Considerando o exposto, julgue os itens a seguir:
( ) O volume da região não ocupada pela água no cilindro é 300 cm3.
( ) O ângulo ө mede 45°.
( ) A altura h mede 15 cm.
( ) A medida do segmento de geratriz AB, da base do cilindro até o nível da água, é 12 cm.

8. (Famema 2017) Um cilindro circular reto A, com raio da base igual a 6 cm e altura H, possui a mesma área lateral que um cilindro circular reto B, com raio da base r e altura h, conforme mostram as figuras. Sabendo que ℎ???? = 1,2 e que o volume do cilindro B é 240???? ????????3, é correto afirmar que a diferença entre os volumes dos cilindros é

a) 50 ???? ????????3.
b) 42 ???? ????????3.
c) 45 ???? ????????3.
d) 48 ???? ????????3.
e) 37 ???? ????????3.

9. (Pucpr 2017) Um medicamento que dilata os vasos e artérias do corpo humano é ministrado e aumenta o diâmetro em 20% de determinada artéria. Considerando que a artéria se assemelha a um cilindro circular reto, o fluxo sanguíneo nessa artéria aumenta em

a) 10%
b) 20%
c) 21%
d) 40%
e) 44%

10. (Uerj 2017) Um cilindro circular reto possui diâmetro ???????? de 4 cm e altura ????????' de 10 ????????. O plano ????, perpendicular à seção meridiana ????????????'????', que passa pelos pontos ???? e ????' das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem. O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base inferior, em ????????3, é igual a:

a) 8????
b) 12????
c) 16????
d) 20????

11. (Uem 2016) A figura a seguir representa um expositor de salgados que consiste em ¼ de um cilindro. Observe na figura que na metade da altura desse expositor existe uma prateleira que o divide em duas partes. Considerando que a parte frontal do expositor corresponde à lateral do cilindro, assinale o que for correto. (Obs: 1 litro = 1 decímetro cúbico).
01) A área da prateleira do meio é √3 5  ????2.
02) O volume da parte inferior do expositor (abaixo da prateleira) é 20 3 (2???? + 3√3) litros.
04) O volume do expositor é de 40???? litros.
08) O volume da parte superior do expositor (acima da prateleira) é 20 3 (2???? − 3√3) litros.
16) A área da região frontal do expositor é 2???? 5  ????2.

12. (Einstein - Medicina 2016) Sobre uma artéria média, sabe-se que o diâmetro externo de uma seção reta e a espessura da parede medem 0,04 ???????? e 1mm, respectivamente. Considerando que uma seção reta dessa artéria, obtida por dois cortes transversais distantes 1,5 cm um do outro, tem a forma de um cilindro circular reto, quantos mililitros de sangue ela deve comportar, em relação ao seu diâmetro interno? (Considere a aproximação: ???? = 3)

a) 0,018
b) 0,045
c) 0,18
d) 0,45

14. (Ita 2013) No sistema xOy os pontos ???? = (2,0), ???? = (2,5) e ???? = (0,1) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão volume área total da superfície, em unidade de comprimento, é igual a

a) 1.
b) 100/105.
c) 10/11.
d) 100/115.
e) 5/6.

16. (Ita 2000) Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5 cm do eixo e separa na base um arco de 120°. Sendo de 30√3cm2 a área da secção plana retangular, então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm3,

a) 30π - 10√3.
b) 30π - 20√3.
c) 20π - 10√3.
d) 50π - 25√3.
e) 100π - 75√3.

17. (Ita 1995) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m2, vale:

a) 3π2/4
b) 9π(2 + π)/4
c) π(2 + π)
d) π2/2
e) 3π(π + 1)/2

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