08. (IME) Deseja-se transmitir sinais luminosos de um farol, representado pela figura abaixo. Em cada um dos seis pontos de luz no farol existem um...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE). Primeiro, vamos calcular o número total de configurações possíveis, que é 12!/(2!)^6, já que temos 12 lâmpadas e em cada ponto de luz há duas opções de cor. Agora, vamos calcular o número de configurações em que pelo menos um ponto de luz fica apagado. Existem 6 maneiras de escolher qual ponto de luz ficará apagado e 11!/(2!)^5 maneiras de distribuir as lâmpadas nos outros pontos de luz. Portanto, o número de configurações em que pelo menos um ponto de luz fica apagado é 6 x 11!/(2!)^5. No entanto, ao subtrairmos esse número do total, estamos subtraindo duas vezes as configurações em que dois pontos de luz ficam apagados. Portanto, precisamos adicioná-las novamente. Existem (6 escolher 2) maneiras de escolher quais pontos de luz ficarão apagados e 10!/(2!)^4 maneiras de distribuir as lâmpadas nos outros pontos de luz. Portanto, o número de configurações em que dois pontos de luz ficam apagados é (6 escolher 2) x 10!/(2!)^4. No entanto, ao adicionarmos esse número, estamos adicionando três vezes as configurações em que três pontos de luz ficam apagados. Portanto, precisamos subtrair essas configurações novamente. Existem (6 escolher 3) maneiras de escolher quais pontos de luz ficarão apagados e 9!/(2!)^3 maneiras de distribuir as lâmpadas nos outros pontos de luz. Portanto, o número de configurações em que três pontos de luz ficam apagados é (6 escolher 3) x 9!/(2!)^3. Finalmente, o número total de configurações possíveis em que pelo menos três pontos de luz ficam acesos é dado por: 12!/(2!)^6 - 6 x 11!/(2!)^5 + (6 escolher 2) x 10!/(2!)^4 - (6 escolher 3) x 9!/(2!)^3 Que é igual a 1.260.