Um exame vestibular se constitui de 10 provas distintas, 3 das quais da área de matemática. Determine de quantas formas é possível programar a seqü...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Adição e o Princípio da Multiplicação. Primeiro, vamos determinar quantas maneiras existem de organizar as 10 provas sem restrições. Isso pode ser feito por meio de 10! (10 fatorial), que é igual a 3.628.800. Agora, vamos determinar quantas maneiras existem de organizar as 10 provas de modo que as provas de Matemática não se sucedam. Podemos fazer isso considerando os seguintes casos: - Caso 1: as provas de Matemática estão nas posições 1, 4 e 7. Nesse caso, temos 3! maneiras de organizar as provas de Matemática e 7! maneiras de organizar as outras provas. Portanto, o número total de maneiras é 3! x 7! = 15.120. - Caso 2: as provas de Matemática estão nas posições 2, 5 e 8. Nesse caso, temos novamente 3! maneiras de organizar as provas de Matemática e 7! maneiras de organizar as outras provas. Portanto, o número total de maneiras é 3! x 7! = 15.120. - Caso 3: as provas de Matemática estão nas posições 3, 6 e 9. Nesse caso, temos 3! maneiras de organizar as provas de Matemática e 7! maneiras de organizar as outras provas. Portanto, o número total de maneiras é 3! x 7! = 15.120. Como esses casos são mutuamente exclusivos, podemos utilizar o Princípio da Adição para somar o número de maneiras de cada caso e obter o número total de maneiras de organizar as provas de modo que as provas de Matemática não se sucedam: 15.120 + 15.120 + 15.120 = 45.360 Portanto, existem 45.360 maneiras de organizar as 10 provas de modo que as provas de Matemática não se sucedam.