Considere um conjunto de n objetos, dispostos em um círculo. De quantas maneiras é possível selecionar p entre eles, sem escolher objetos que ocupe...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE). Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher p objetos do conjunto de n objetos, sem restrições. Isso pode ser feito usando combinações, e o resultado é dado por: C(n, p) Agora, vamos contar o número de maneiras que violam a restrição de que os objetos não podem ocupar posições consecutivas. Podemos fazer isso selecionando p objetos de forma que pelo menos dois deles estejam consecutivos. Existem n maneiras de escolher o primeiro objeto, e p-1 maneiras de escolher o segundo objeto (pois ele não pode estar na posição seguinte à do primeiro objeto). Depois disso, temos p-2 objetos restantes para escolher, que podem ser selecionados de C(n-3, p-2) maneiras (pois agora temos n-3 objetos disponíveis, excluindo os dois objetos selecionados e as posições adjacentes a eles). Portanto, o número de maneiras que violam a restrição é dado por: n * (p-1) * C(n-3, p-2) No entanto, essa contagem conta duas vezes as seleções que violam a restrição com objetos consecutivos. Para corrigir isso, precisamos subtrair o número de seleções que violam a restrição com objetos consecutivos. Existem n maneiras de escolher o objeto que estará na posição inicial, e p-2 maneiras de escolher os outros dois objetos consecutivos. Depois disso, temos p-3 objetos restantes para escolher, que podem ser selecionados de C(n-4, p-3) maneiras. Portanto, o número de seleções que violam a restrição com objetos consecutivos é dado por: n * (p-2) * C(n-4, p-3) Assim, o número total de maneiras de escolher p objetos do conjunto de n objetos, sem escolher objetos que ocupem posições consecutivas, é dado por: C(n, p) - n * (p-1) * C(n-3, p-2) + n * (p-2) * C(n-4, p-3)