11. (FUVEST - 2012) Considere a matriz , em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A-1 cuja primeira coluna é , a soma dos elementos...

Para encontrar a matriz inversa A-1, precisamos utilizar a fórmula: A . A-1 = I Onde I é a matriz identidade. Substituindo os valores da matriz A e da primeira coluna de A-1, temos: [1 2 3; 0 1 a; 0 0 1] . [x; y; z] = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] Ou seja, 1x + 2y + 3z = 1 y + az = 0 z = 1 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: x = -2 + 3a y = a z = 1 Portanto, a primeira coluna de A-1 é [-2+3a; a; 1]. Para encontrar a diagonal principal de A-1, basta pegar os elementos da diagonal principal de A e inverter seus valores. Assim, temos: A = [1 2 3; 0 1 a; 0 0 1] A-1 = [-2+3a 2a-6 -3a+9; a -1 0; 0 0 1] Diagonal principal de A-1: [-2+3a, -1, 1] Soma dos elementos da diagonal principal de A-1: -2+3a - 1 + 1 = 3a - 2 Portanto, a resposta correta é letra A) 5.