QUESTÃO 3) Considere a seguinte função tabela ???????? - 2 - 1 0 2 ????(????????) -3 2 3 5 a) (2 pontos) Determine o polinômio interpolador de Lagrange cujo ...

a) Para determinar o polinômio interpolador de Lagrange, podemos utilizar a fórmula: L(x) = Σ(yi * li(x)) Onde yi é o valor da função tabela e li(x) é o polinômio de Lagrange para o i-ésimo ponto. Assim, temos: l0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)/(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) l1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)/(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) l2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)/(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) l3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)/(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) Substituindo os valores, temos: l0(x) = (x + 1)(x)(x - 2)/(-3)(-2)(-1) = -x^3/6 + x^2/2 - 5x/6 l1(x) = (x + 2)(x)(x - 2)/(-2)(-3)(-1) = x^3/3 - 2x^2 + 8x/3 l2(x) = (x + 2)(x + 1)(x - 2)/(1)(2)(3) = -x^3/2 + 5x^2/2 - 7x/2 l3(x) = (x + 2)(x + 1)(x)/(2)(3)(1) = x^3/6 + x^2/2 - x/3 Assim, temos: L(x) = -3(-x^3/6 + x^2/2 - 5x/6) + 2(x^3/3 - 2x^2 + 8x/3) + 3(-x^3/2 + 5x^2/2 - 7x/2) + 5(x^3/6 + x^2/2 - x/3) L(x) = -x^3 + 3x^2 + 2x - 3 Portanto, o polinômio interpolador de Lagrange é L(x) = -x^3 + 3x^2 + 2x - 3. b) Não existe um polinômio interpolador de grau 2 que passe por esses pontos, pois para que isso ocorra, precisaríamos de três pontos. Além disso, podemos verificar que os pontos não estão alinhados, o que indica que não é possível encontrar um polinômio de grau 2 que passe por eles. c) Existe um polinômio de grau 4 que passe por esses pontos. Podemos utilizar o método de interpolação de Newton para encontrar esse polinômio. Assim, temos: f[x0] = y0 = -3 f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0])/(x1 - x0) = (2 - (-3))/1 = 5 f[x0, x1, x2] = (f[x1, x2] - f[x0, x1])/(x2 - x0) = (3 - 5)/2 = -1/2 f[x0, x1, x2, x3] = (f[x1, x2, x3] - f[x0, x1, x2])/(x3 - x0) = (5 - (-1/2))/4 = 23/8 Assim, temos: f(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2) f(x) = -3 + 5(x + 2) - 1/2(x + 2)(x + 1) + 23/8(x + 2)(x + 1)(x - 2) f(x) = -3 + 5x + 10 - 1/2(x^2 + 3x + 2) + 23/8(x^3 - x^2 - 4x + 8) f(x) = 23/8x^3 - 3/8x^2 + 27/4x - 11/2 Portanto, um exemplo de polinômio de grau 4 que passa por esses pontos é f(x) = 23/8x^3 - 3/8x^2 + 27/4x - 11/2. Esse polinômio é único, pois o método de interpolação de Newton garante a unicidade do polinômio interpolador.