19. (ITA - 2005) Uma circunferência passa pelos pontos A(0, 2), B(0, 8) e C(8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respect...

Para encontrar o centro e o raio da circunferência que passa pelos pontos A(0, 2), B(0, 8) e C(8, 8), podemos utilizar a equação geral da circunferência: (x - a)² + (y - b)² = r² Onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o raio. Substituindo os pontos A, B e C na equação, obtemos o seguinte sistema de equações: a² + (2 - b)² = r² a² + (8 - b)² = r² (a - 8)² + (8 - b)² = r² Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos: 36 = (8 - 2)² + (b - b)² 36 = 36 0 = 0 Isso significa que as equações são dependentes e podemos eliminá-las. Substituindo o ponto A na equação restante, obtemos: a² + (2 - b)² = r² Substituindo o ponto B na mesma equação, obtemos: a² + (8 - b)² = r² Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: 36 = (8 - 2)² + (b - 8)² 36 = 36 0 = 0 Isso significa que as equações são dependentes e podemos eliminá-las. Substituindo o ponto C na equação restante, obtemos: (a - 8)² + (8 - b)² = r² Expandindo os termos, temos: a² - 16a + 64 + b² - 16b + 64 = r² Simplificando, temos: a² + b² - 16a - 16b + 128 = r² Agora, podemos utilizar o método da substituição para encontrar o valor de a e b. Isolando a variável a na primeira equação, temos: a² = r² - (2 - b)² Substituindo na segunda equação, temos: r² - (2 - b)² + (8 - b)² = r² Expandindo os termos, temos: r² - 4 + 4b - b² + 64 - 16b + b² = r² Simplificando, temos: 4b - 16b + 60 = 0 -12b = -60 b = 5 Substituindo o valor de b na primeira equação, temos: a² = r² - (2 - 5)² a² = r² - 9 Substituindo os valores de a e b na equação restante, temos: (a - 8)² + (8 - 5)² = r² (a - 8)² + 9 = r² Substituindo a equação de a² em r², temos: (a - 8)² + 9 = a² a² - 16a + 64 + 9 = a² -16a + 73 = 0 a = 4,5625 Portanto, o centro da circunferência é (4,5625, 5) e o valor do raio é: r² = a² + 9 r² = 4,5625² + 9 r² = 30,8906 r ≈ 5,55 A alternativa correta é a letra C) (4,8) e 5,5.