3) Prove os teoremas abaixo usando as técnicas de sua preferência: c) “Para todo m inteiro positivo e j, k inteiros, j ≡ k (mod m) se e somente se ...

A resposta apresentada está correta. Para provar que j ≡ k (mod m) se e somente se k ≡ j (mod m), é necessário mostrar que se j ≡ k (mod m), então k ≡ j (mod m) e vice-versa. Se j ≡ k (mod m), então m | (j – k), ou seja, existe um inteiro c, tal que, j – k = m*c, sendo assim j = m*c+k. Substituindo j na equação k ≡ j (mod m), temos k ≡ m*c+k (mod m), o que implica em m | (k – j), ou seja, k ≡ j (mod m). Da mesma forma, se k ≡ j (mod m), então m | (k – j), ou seja também existe um inteiro a, tal que, k – j = m*a, sendo assim k = m*a+j. Substituindo k na equação j ≡ k (mod m), temos j ≡ m*a+j (mod m), o que implica em m | (j – k), ou seja, j ≡ k (mod m). Portanto, j ≡ k (mod m) se e somente se k ≡ j (mod m). Para o segundo teorema, é necessário provar que se n mod 10 = 3, então n² mod 10 = 9. Se n mod 10 é igual a 3, existe um inteiro k, tal que n = 10*k + 3, onde 3 é o resto, 10 é o divisor e k é o quociente. Com isso, temos: n² = (10*k + 3)² = 100k² + 60k + 9 Logo, n² mod 10 = 9, pois o resto da divisão de 100k² + 60k + 9 por 10 é 9. Portanto, o teorema é verdadeiro.