4) Prove: Para todo a e b inteiros e todo m inteiro positivo, se a ≡ b (mod m), então a2 ≡ b2 (mod m). Resposta: Seguindo a definição da Aritmética...

Question

4) Prove: Para todo a e b inteiros e todo m inteiro positivo, se a ≡ b (mod m), então a2 ≡ b2 (mod m). Resposta: Seguindo a definição da Aritmética Modular temos que se a é congruente a b no módulo m, temos que, existe um inteiro k tal que; a = b + k * m, se a ≡ b (mod m), então m | (a – b), e se existe um inteiro k tal que a = b + k * m, então k * m = b – a, sendo assim a é congruente ao modulo m e consequentemente a2 também é congruente a b2 no modulo m.

Ed · Answer

A demonstração apresentada está correta. Podemos seguir os seguintes passos:

Se a ≡ b (mod m), então m | (a – b), ou seja, existe um inteiro k tal que a – b = km.

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

(a – b)² = k²m²

a² – 2ab + b² = k²m²

a² – b² = k²m² + 2ab

a² – b² = m(2k + (a + b))

Como 2k + (a + b) é um inteiro, temos que a² ≡ b² (mod m).

Portanto, se a ≡ b (mod m), então a² ≡ b² (mod m).

4) Prove: Para todo a e b inteiros e todo m inteiro positivo, se a ≡ b (mod m), então a2 ≡ b2 (mod m). Resposta: Seguindo a definição da Aritmética...

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