Esta questão deverá ser resolvida em duas partes: (a) Proponha uma definição recursiva para o conjunto S = {n2 | n ∈ N} dos quadrados de números na...

(a) Definição recursiva para o conjunto S = {n² | n ∈ N} dos quadrados de números naturais: - Caso base: 1 ∈ S, pois 1 = 1². - Passo recursivo: se n² ∈ S, então (n+1)² ∈ S, pois (n+1)² = n² + 2n + 1, e como n² ∈ S, temos que 2n + 1 ∈ N, logo (n+1)² ∈ S. (b) Prova por indução estrutural: - Caso base: para x = 1, temos que (1+1)² = 4 = 2², que pertence a S. - Passo indutivo: suponha que para um x qualquer, (x+1)² ∈ S. Então, pelo passo recursivo da definição de S, temos que (x+2)² ∈ S. Portanto, para todo x nos números naturais, (x+1)² ∈ S.