Exercícios 13.2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln ...

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln x, podemos utilizar o método de discos ou o método das cascas cilíndricas. Método dos discos: - Integrar a área da seção transversal do sólido em relação a y, de 0 a ln(e) = 1. - A seção transversal é um disco de raio x e espessura dy. - Logo, o volume é dado por V = ∫[0,1] πx²dy = ∫[0,1] πe^(2y)dy = π(e² - 1)/2. Método das cascas cilíndricas: - Integrar a área da superfície lateral do sólido em relação a x, de 1 a e. - A superfície lateral é formada por cascas cilíndricas de raio x e altura ln(x). - Logo, o volume é dado por V = ∫[1,e] 2πxln(x)dx = 2π[e²ln(e)/2 - e/2 + 1/4]. Portanto, o volume do sólido é π(e² - 1)/2 ou 2π[e²ln(e)/2 - e/2 + 1/4], dependendo do método utilizado.