Exercícios 13.2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln ...
Exercícios 13.2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln x.
a) 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x² − 1.
b) 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ sen x.
c) 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ arctg x.
d) y² ≤ 2x − x², y ≥ 0.
a) 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x² − 1.
b) 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ sen x.
c) 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ arctg x.
d) y² ≤ 2x − x², y ≥ 0.
💡 1 Resposta
Ed 
Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln x, podemos utilizar o método de discos ou o método das cascas cilíndricas. Usando o método das cascas cilíndricas, temos: V = ∫[1,e] 2πx(ln x) dx Fazendo a integração por partes, temos: V = [x(ln x)²/2] [1,e] - ∫[1,e] (ln x) dx V = [x(ln x)²/2 - x ln x + x] [1,e] V = (e²/2 - e) - (1/2) V = (e² - 1)/2 Portanto, o volume do sólido é (e² - 1)/2.
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