10. (Unicamp) Uma elipse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos nos pontos (-4,0) e (4,0). O ponto (0,-3) é interior, exterior ou pertence à eli...

Para determinar se o ponto (0,-3) pertence à elipse, podemos utilizar a definição da elipse como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante. Sabemos que os focos da elipse estão nos pontos (-4,0) e (4,0), portanto, a distância entre eles é d = 8. Além disso, a elipse passa pelo ponto (0,3), o que significa que a soma das distâncias desse ponto aos focos é igual a d = 8. Vamos calcular a distância do ponto (0,-3) aos focos: d1 = distância entre o ponto (0,-3) e o foco (-4,0) d2 = distância entre o ponto (0,-3) e o foco (4,0) d1 = sqrt((0 - (-4))^2 + (-3 - 0)^2) = sqrt(16 + 9) = 5 d2 = sqrt((0 - 4)^2 + (-3 - 0)^2) = sqrt(16 + 9) = 5 A soma das distâncias d1 e d2 é igual a 10, que é diferente da distância entre os focos d = 8. Portanto, o ponto (0,-3) não pertence à elipse. Para determinar se o ponto (5/2, 13/5) pertence à elipse, podemos seguir o mesmo raciocínio: d1 = distância entre o ponto (5/2, 13/5) e o foco (-4,0) d2 = distância entre o ponto (5/2, 13/5) e o foco (4,0) d1 = sqrt((5/2 - (-4))^2 + (13/5 - 0)^2) = sqrt(169/4 + 169/25) = 13/2 d2 = sqrt((5/2 - 4)^2 + (13/5 - 0)^2) = sqrt(9/4 + 169/25) = 17/5 A soma das distâncias d1 e d2 é igual a 23/2, que é igual à distância entre os focos d = 8. Portanto, o ponto (5/2, 13/5) pertence à elipse. Logo, o ponto (0,-3) é exterior à elipse e o ponto (5/2, 13/5) pertence à elipse.