1 - Uma cultura de bactérias, com uma quantidade inicial 0Q bactérias, cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 20 minutos c...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o método das variáveis separáveis. Seja Q(t) a quantidade de bactérias no tempo t. Sabemos que a taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente, então podemos escrever: dQ/dt = kQ Onde k é a constante de proporcionalidade. Sabemos que a quantidade de bactérias cresceu 5% em 20 minutos, então podemos escrever: Q(20) = 1,05Q(0) Agora podemos resolver a equação diferencial separando as variáveis: dQ/Q = k dt Integrando ambos os lados, temos: ln(Q) = kt + C Onde C é a constante de integração. Podemos encontrar C a partir da condição inicial Q(0) = 0Q: ln(0Q) = C C = 0 Substituindo C na equação, temos: ln(Q) = kt Exponenciando ambos os lados, temos: Q = e^(kt) Agora podemos encontrar k a partir da condição Q(20) = 1,05Q(0): Q(20) = e^(20k) = 1,05Q(0) k = ln(1,05)/20 k = 0,00347 Substituindo k na equação, temos: Q(t) = e^(0,00347t) Para encontrar o tempo necessário para a cultura de bactérias duplicar, podemos escrever: 2Q(0) = e^(0,00347t) t = ln(2Q(0))/0,00347 t = 199,5 minutos Portanto, a quantidade de bactérias em qualquer tempo t é dada por Q(t) = e^(0,00347t) e a cultura de bactérias levará aproximadamente 199,5 minutos para duplicar.