2 - Suponha que um circuito simples, a resistência seja 15  e a indutância seja 5 H . Se uma pilha fornecer uma voltagem constante de 60 V e o in...

Para resolver esse problema, precisamos utilizar a equação diferencial que descreve o circuito RL: L(di/dt) + Ri = E Onde L é a indutância, R é a resistência, E é a voltagem da fonte e i é a corrente elétrica. a) Método de Lagrange: Para utilizar o método de Lagrange, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada: L(di/dt) + Ri = 0 A solução dessa equação é dada por: i(t) = A * e^(-Rt/L) Onde A é uma constante determinada pelas condições iniciais. Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como a fonte é constante, podemos assumir que a corrente também será constante após um certo tempo. Portanto, podemos escrever: L(di/dt) + Ri = 60 Para t > 0, a solução particular é dada por: i(t) = 60/R A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular: i(t) = A * e^(-Rt/L) + 60/R Para encontrar a constante A, precisamos utilizar a condição inicial i(0) = 0: A = -60/R Substituindo na equação geral, temos: i(t) = -60/R * e^(-Rt/L) + 60/R Para encontrar a corrente após 5,1 segundos, basta substituir t = 5,1 na equação: i(5,1) = -60/R * e^(-5,1R/L) + 60/R b) Método do Fator Integrante: Para utilizar o método do Fator Integrante, precisamos multiplicar a equação diferencial por um fator integrante, que é dado por: e^(Rt/L) Multiplicando a equação por esse fator, temos: e^(Rt/L) * L(di/dt) + e^(Rt/L) * Ri = e^(Rt/L) * E Agora, podemos utilizar a regra do produto para simplificar a equação: d/dt (e^(Rt/L) * i) = e^(Rt/L) * E Integrando ambos os lados, temos: e^(Rt/L) * i = (E/R) * (e^(Rt/L) - 1) i(t) = (E/R) * (e^(-Rt/L) - 1) Para encontrar a corrente após 5,1 segundos, basta substituir t = 5,1 na equação: i(5,1) = (60/R) * (e^(-5,1R/L) - 1) Portanto, as respostas são: a) i(t) = -60/15 * e^(-15t/5) + 60/15 = 4 - 4e^(-3t) i(5,1) = 4 - 4e^(-15.3/5) + 60/15 = 96,35 A b) i(t) = (60/15) * (e^(-15t/5) - 1) = 4(1 - e^(-3t)) i(5,1) = 4(1 - e^(-15.3/5)) = 96,35 A