2. Calcule a integral indefinida utilizando integração por partes. a) ∫ xe3x dy b) ∫ xcos(2x) dx c) ∫ xsec(x) tg(x) dx d) ∫ x3x dx e) ∫ ln(x) dr ...

a) Para calcular a integral indefinida de xe^(3x) dx por partes, vamos escolher u = x e dv = e^(3x) dx. Então, temos du/dx = 1 e v = (1/3)e^(3x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ xe^(3x) dx = x(1/3)e^(3x) - ∫ (1/3)e^(3x) dx ∫ xe^(3x) dx = (1/3)xe^(3x) - (1/9)e^(3x) + C b) Para calcular a integral indefinida de xcos(2x) dx por partes, vamos escolher u = x e dv = cos(2x) dx. Então, temos du/dx = 1 e v = (1/2)sen(2x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ xcos(2x) dx = x(1/2)sen(2x) - ∫ (1/2)sen(2x) dx ∫ xcos(2x) dx = (1/2)xsen(2x) - (1/4)cos(2x) + C c) Para calcular a integral indefinida de xsec(x)tg(x) dx por partes, vamos escolher u = x e dv = sec(x)tg(x) dx. Então, temos du/dx = 1 e v = sec(x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ xsec(x)tg(x) dx = xsec(x) - ∫ sec(x) dx ∫ xsec(x)tg(x) dx = xsec(x) - ln|sec(x) + tg(x)| + C d) Para calcular a integral indefinida de x^3 dx por partes, vamos escolher u = x^2 e dv = x dx. Então, temos du/dx = 2x e v = (1/2)x^2. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ x^3 dx = (1/2)x^2 * x - ∫ (1/2)x^2 dx ∫ x^3 dx = (1/2)x^3 - (1/6)x^3 + C ∫ x^3 dx = (1/3)x^3 + C e) Para calcular a integral indefinida de ln(x) dx por partes, vamos escolher u = ln(x) e dv = dx. Então, temos du/dx = 1/x e v = x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ ln(x) dx = xln(x) - ∫ x(1/x) dx ∫ ln(x) dx = xln(x) - x + C f) ∫ arcsen(w) dw = w*arcsen(w) + sqrt(1-w^2) + C g) ∫ (ln(x))^2 dx = x(ln(x))^2 - 2∫ ln(x) dx ∫ (ln(x))^2 dx = x(ln(x))^2 - 2xln(x) + 2x + C h) ∫ xsec^2(x) dx = xtg(x) + ∫ tg(x) dx ∫ xsec^2(x) dx = xtg(x) + ln|sec(x)| + C i) ∫ xarctg(x) dx = (1/2)x^2arctg(x) - (1/2)∫ x/(1+x^2) dx ∫ xarctg(x) dx = (1/2)x^2arctg(x) - (1/4)ln(1+x^2) + C j) ∫ x^2ln(x) dx = (1/3)x^3ln(x) - ∫ (1/3)x^2 dx ∫ x^2ln(x) dx = (1/3)x^3ln(x) - (1/9)x^3 + C k) ∫ x*e^x/(x+1)^2 dx = ∫ x/(x+1)^2 * e^x dx Para calcular essa integral, vamos escolher u = x/(x+1)^2 e dv = e^x dx. Então, temos du/dx = (1-x)/(x+1)^3 e v = e^x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ x*e^x/(x+1)^2 dx = -x/(x+1)^2 * e^x + ∫ (1-x)/(x+1)^3 * e^x dx Para calcular a integral restante, vamos escolher u = 1-x e dv = e^x/(x+1)^3 dx. Então, temos du/dx = -1 e v = (-1/2)(1/(x+1)^2). Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ x*e^x/(x+1)^2 dx = -x/(x+1)^2 * e^x - (1-x)(1/(2(x+1)^2)) * e^x - (1/2)∫ (1-x)/(x+1)^3 * e^x dx Simplificando, temos: (3/2)∫ x*e^x/(x+1)^2 dx = -x/(x+1)^2 * e^x - (1-x)/(2(x+1)^2) * e^x ∫ x*e^x/(x+1)^2 dx = -2/3 * (x/(x+1)^2 + (1-x)/(2(x+1)^2)) * e^x + C l) ∫ x^2sen(3x) dx = (-1/3)x^2cos(3x) + (2/9)sen(3x) + C m) ∫ sen(x)ln(cos(x)) dx = -cos(x)ln(cos(x)) + ∫ cos(x)/(cos(x)) dx ∫ sen(x)ln(cos(x)) dx = -cos(x)ln(cos(x)) + x + C n) ∫ sen(ln(x)) dx = -cos(ln(x)) + C o) ∫ e^x*cos(x) dx = (1/2)e^x*(sen(x) - cos(x)) + C p) ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/2)∫ x^4e^2x dx Para calcular a integral restante, vamos escolher u = x^4 e dv = e^2x dx. Então, temos du/dx = 4x^3 e v = (1/2)e^2x. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/2) * [(1/2)x^4e^2x - (2/2)∫ x^3e^2x dx] Simplificando, temos: ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/4)x^4e^2x + (5/2)∫ x^3e^2x dx Para calcular a integral restante, vamos escolher u = x^3 e dv = e^2x dx. Então, temos du/dx = 3x^2 e v = (1/2)e^2x. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/4)x^4e^2x + (15/4) * [(1/2)x^3e^2x - (3/2)∫ x^2e^2x dx] Simplificando, temos: ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/4)x^4e^2x + (15/8)x^3e^2x - (45/8)∫ x^2e^2x dx Para calcular a integral restante, vamos escolher u = x^2 e dv = e^2x dx. Então, temos du/dx = 2x e v = (1/2)e^2x. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/4)x^4e^2x + (15/8)x^3e^2x - (45/16)x^2e^2x + (45/16)∫ xe^2x dx Para calcular a integral restante, vamos escolher u = x e dv = e^2x dx. Então, temos du/dx = 1 e v = (1/2)e^2x. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/4)x^4e^2x + (15/8)x^3e^2x - (45/16)x^2e^2x + (45/32)xe^2x - (45/32)∫ e^2x dx Simplificando, temos: ∫ x^5e^2x dx = (1/2)x^5e^2x - (5/4)x^4e^2x + (15/8)x^3e^2x - (45/16)x^2e^2x + (45/32)xe^2x - (45/64)e^2x + C