2. Calcule a integral indefinida utilizando integração por partes. a) ∫ xe3x dy b) ∫ xcos(2x) dx c) ∫ x sec(x) tg(x) dx d) ∫ x3x dx e) ∫ ln(x) dr f...

a) Para calcular a integral indefinida de xe^(3x) dx por partes, escolhemos u = x e dv = e^(3x) dx. Então, temos du/dx = 1 e v = (1/3)e^(3x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ xe^(3x) dx = x(1/3)e^(3x) - ∫ (1/3)e^(3x) dx ∫ xe^(3x) dx = (1/3)xe^(3x) - (1/9)e^(3x) + C Portanto, a resposta é (A) (1/3)xe^(3x) - (1/9)e^(3x) + C. b) Para calcular a integral indefinida de xcos(2x) dx por partes, escolhemos u = x e dv = cos(2x) dx. Então, temos du/dx = 1 e v = (1/2)sen(2x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ xcos(2x) dx = x(1/2)sen(2x) - ∫ (1/2)sen(2x) dx ∫ xcos(2x) dx = (1/2)xsen(2x) - (1/4)cos(2x) + C Portanto, a resposta é (B) (1/2)xsen(2x) - (1/4)cos(2x) + C. c) Para calcular a integral indefinida de xsec(x)tg(x) dx por partes, escolhemos u = x e dv = sec(x)tg(x) dx. Então, temos du/dx = 1 e v = sec(x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ xsec(x)tg(x) dx = xsec(x) - ∫ sec(x) dx ∫ xsec(x)tg(x) dx = xsec(x) - ln|sec(x) + tg(x)| + C Portanto, a resposta é (C) xsec(x) - ln|sec(x) + tg(x)| + C. d) Para calcular a integral indefinida de x^3 dx por partes, escolhemos u = x^2 e dv = x dx. Então, temos du/dx = 2x e v = (1/2)x^2. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ x^3 dx = (1/2)x^2.x^2 - ∫ (1/2)x^2.2x dx ∫ x^3 dx = (1/2)x^4 - (1/2)x^3 + C Portanto, a resposta é (D) (1/2)x^4 - (1/2)x^3 + C. e) Para calcular a integral indefinida de ln(x) dx por partes, escolhemos u = ln(x) e dv = dx. Então, temos du/dx = 1/x e v = x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ ln(x) dx = xln(x) - ∫ x(1/x) dx ∫ ln(x) dx = xln(x) - x + C Portanto, a resposta é (E) xln(x) - x + C.