5. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais: a) ∫∫ B (x+y)2dA, onde R é a região anelar localizada entre os círculos x2+y2 = 1...

a) Para calcular a integral dupla ∫∫ B (x+y)² dA, onde R é a região anelar localizada entre os círculos x²+y²=1 e x²+y²=8, podemos utilizar coordenadas polares. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Para r, temos que a região anelar está entre os círculos de raio 1 e 2√2, então 1 ≤ r ≤ 2√2. Para θ, a região anelar é simétrica em relação ao eixo x, então podemos integrar de 0 a 2π. Assim, temos: ∫∫ B (x+y)² dA = ∫ de 0 a 2π ∫ de 1 a 2√2 (r²cos²θ + r²sin²θ + 2r²cosθsinθ) r dr dθ Simplificando a expressão dentro da integral, temos: ∫∫ B (x+y)² dA = ∫ de 0 a 2π ∫ de 1 a 2√2 (r² + 2r²cosθsinθ) r dr dθ Resolvendo as integrais, temos: ∫∫ B (x+y)² dA = ∫ de 0 a 2π [1/4 r⁵ + 1/3 r⁵cos²θ] de 1 a 2√2 dθ ∫∫ B (x+y)² dA = 15π/4 Portanto, a alternativa correta é letra D) 15π/4. b) Para calcular o volume do sólido sob o gráfico da função z = √(9−x²−y²) e sobre a região x²+y²≤7, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em ρ, θ e z. Para ρ, temos que a região é um cilindro de raio √7, então 0 ≤ ρ ≤ √7. Para θ, podemos integrar de 0 a 2π, pois a região é simétrica em relação ao eixo z. Para z, temos que a função z = √(9−x²−y²) define o limite superior do sólido, então a integral deve ser de 0 a √(9−ρ²). Assim, temos: V = ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a √7 ∫ de 0 a √(9−ρ²) ρ dz dρ dθ Resolvendo as integrais, temos: V = 4π/3 (9√7 − 7) Portanto, a alternativa correta é letra C) 4π/3 (9√7 − 7). c) Para calcular o volume do sólido acima do parabolóide z = x²+y² e abaixo da esfera x²+y²+z² = 2, podemos utilizar coordenadas esféricas. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em ρ, θ e φ. Para ρ, temos que a esfera tem raio √2, então 0 ≤ ρ ≤ √2. Para θ, podemos integrar de 0 a 2π, pois a região é simétrica em relação ao eixo z. Para φ, o parabolóide z = x²+y² define o limite inferior do sólido, então a integral deve ser de 0 a π/4. Assim, temos: V = ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a π/4 ∫ de 0 a √2 ρ²sinφ dρ dφ dθ Resolvendo as integrais, temos: V = π/6 (2√2 − 1) Portanto, a alternativa correta é letra A) π/6 (2√2 − 1).