Geometria Analítica

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14. Mostre que se u⃗+ v⃗ e u⃗− v⃗ forem ortogonais, então u⃗ e v⃗ tem o mesmo comprimento.

Praticando Para o Saber

há 2 anos

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3 pág.

C2 Lista de Monitoria 2 - 2022_4

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há 2 anos

Para mostrar que u⃗ e v⃗ têm o mesmo comprimento, podemos usar a identidade do produto escalar: |u⃗ + v⃗|² + |u⃗ - v⃗|² = 2|u⃗|² + 2|v⃗|² Se u⃗ + v⃗ e u⃗ - v⃗ são ortogonais, então o produto escalar entre eles é zero: (u⃗ + v⃗) . (u⃗ - v⃗) = 0 Expandindo o produto escalar, temos: u⃗ . u⃗ - u⃗ . v⃗ + v⃗ . u⃗ - v⃗ . v⃗ = 0 Simplificando, temos: |u⃗|² - |v⃗|² = 0 |u⃗|² = |v⃗|² Substituindo na identidade do produto escalar, temos: 2|u⃗|² = 2|v⃗|² |u⃗|² = |v⃗|² Portanto, u⃗ e v⃗ têm o mesmo comprimento.

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1. Faça o que se pede:
a) Enuncie a definição de vetores paralelos;
b) Represente graficamente vetores paralelos no plano;
c) Dê exemplo de um vetor paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2);
d) Dê exemplo de um vetor que não é paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2).

2. Determine v⃗ sabendo que (3, 7, 1) + 2v⃗ = (6, 10, 4)− v⃗.

3. Determine o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗, onde:
a) u⃗ = (1,−1) e v⃗ = (−1, 1)
b) u⃗ = (1,−1, 0) e v⃗ = (−1, 2, 1)
c) u⃗ = (4, 0, 2) e v⃗ = (2,−1, 0)
d) u⃗ = (1, 0, 1) e v⃗ = (0,−1, 1)

4. Se A = (−1, 3) e A⃗B = (2,−5), determine B.

5. Se B = (0,−3, 2) e A⃗B = (7, 3, 11), determine A.

6. Considere o triângulo ABC, onde A = (−1,−2, 4), B = (−4,−2, 0) e C = (3,−2, 1).
Determine o ângulo interno ao vértice C.

7. Determine o valor de m para que a medida do ângulo entre os vetores u⃗ = (2, 1,−1) e v⃗ = (1,m, 0) seja 450.

8. Verifique quais vetores abaixo são perpendiculares:
a) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 1, 5);
b) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 3, 1);
c) u⃗ = (−5, 1, 7) e v⃗ = (3, 1, 2)

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1. Faça o que se pede:
a) Enuncie a definição de vetores paralelos;
b) Represente graficamente vetores paralelos no plano;
c) Dê exemplo de um vetor paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2);
d) Dê exemplo de um vetor que não é paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2).

2. Determine v⃗ sabendo que (3, 7, 1) + 2v⃗ = (6, 10, 4)− v⃗.

3. Determine o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗, onde:
a) u⃗ = (1,−1) e v⃗ = (−1, 1)
b) u⃗ = (1,−1, 0) e v⃗ = (−1, 2, 1)
c) u⃗ = (4, 0, 2) e v⃗ = (2,−1, 0)
d) u⃗ = (1, 0, 1) e v⃗ = (0,−1, 1)

4. Se A = (−1, 3) e A⃗B = (2,−5), determine B.

5. Se B = (0,−3, 2) e A⃗B = (7, 3, 11), determine A.

6. Considere o triângulo ABC, onde A = (−1,−2, 4), B = (−4,−2, 0) e C = (3,−2, 1).
Determine o ângulo interno ao vértice C.

7. Determine o valor de m para que a medida do ângulo entre os vetores u⃗ = (2, 1,−1) e v⃗ = (1,m, 0) seja 450.

8. Verifique quais vetores abaixo são perpendiculares:
a) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 1, 5);
b) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 3, 1);
c) u⃗ = (−5, 1, 7) e v⃗ = (3, 1, 2)

9. Determine a⃗+ b⃗, 2a⃗+ 3⃗b, |⃗a| e |⃗a− b⃗|.
a) a⃗ = (5,−12), b⃗ = (−3,−6);
b) a⃗ = 4i + j, b⃗ = i − 2j;
c) a⃗ = i + 2j − 3k, b⃗ = −2i − j + 5k.

10. Mostre que para quaisquer vetores u⃗, v⃗, vale a identidade
u⃗.v⃗ = 1/2 (|u⃗+ v⃗| − |u⃗| − |v⃗|)

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1. Faça o que se pede:a) Enuncie a definição de vetores paralelos;b) Represente graficamente vetores paralelos no plano;c) Dê exemplo de um vetor paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2);d) Dê exemplo de um vetor que não é paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2).

2. Determine v⃗ sabendo que (3, 7, 1) + 2v⃗ = (6, 10, 4)− v⃗.

3. Determine o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗, onde:a) u⃗ = (1,−1) e v⃗ = (−1, 1)b) u⃗ = (1,−1, 0) e v⃗ = (−1, 2, 1)c) u⃗ = (4, 0, 2) e v⃗ = (2,−1, 0)d) u⃗ = (1, 0, 1) e v⃗ = (0,−1, 1)

4. Se A = (−1, 3) e A⃗B = (2,−5), determine B.

5. Se B = (0,−3, 2) e A⃗B = (7, 3, 11), determine A.

6. Considere o triângulo ABC, onde A = (−1,−2, 4), B = (−4,−2, 0) e C = (3,−2, 1).Determine o ângulo interno ao vértice C.

7. Determine o valor de m para que a medida do ângulo entre os vetores u⃗ = (2, 1,−1) e v⃗ = (1,m, 0) seja 450.

8. Verifique quais vetores abaixo são perpendiculares:a) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 1, 5);b) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 3, 1);c) u⃗ = (−5, 1, 7) e v⃗ = (3, 1, 2)

9. Determine a⃗+ b⃗, 2a⃗+ 3⃗b, |⃗a| e |⃗a− b⃗|.a) a⃗ = (5,−12), b⃗ = (−3,−6);b) a⃗ = 4i + j, b⃗ = i − 2j;c) a⃗ = i + 2j − 3k, b⃗ = −2i − j + 5k.

10. Mostre que para quaisquer vetores u⃗, v⃗, vale a identidadeu⃗.v⃗ = 1/2 (|u⃗+ v⃗| − |u⃗| − |v⃗|)

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1. Faça o que se pede:
a) Enuncie a definição de vetores paralelos;
b) Represente graficamente vetores paralelos no plano;
c) Dê exemplo de um vetor paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2);
d) Dê exemplo de um vetor que não é paralelo ao vetor w⃗ = (−6, 8, 2).

3. Determine o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗, onde:
a) u⃗ = (1,−1) e v⃗ = (−1, 1)
b) u⃗ = (1,−1, 0) e v⃗ = (−1, 2, 1)
c) u⃗ = (4, 0, 2) e v⃗ = (2,−1, 0)
d) u⃗ = (1, 0, 1) e v⃗ = (0,−1, 1)

6. Considere o triângulo ABC, onde A = (−1,−2, 4), B = (−4,−2, 0) e C = (3,−2, 1).
Determine o ângulo interno ao vértice C.

8. Verifique quais vetores abaixo são perpendiculares:
a) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 1, 5);
b) u⃗ = (1,−1, 1) e v⃗ = (2, 3, 1);
c) u⃗ = (−5, 1, 7) e v⃗ = (3, 1, 2)

9. Determine a⃗+ b⃗, 2a⃗+ 3⃗b, |⃗a| e |⃗a− b⃗|.
a) a⃗ = (5,−12), b⃗ = (−3,−6);
b) a⃗ = 4i + j, b⃗ = i − 2j;
c) a⃗ = i + 2j − 3k, b⃗ = −2i − j + 5k.

10. Mostre que para quaisquer vetores u⃗, v⃗, vale a identidade
u⃗.v⃗ = 1/2 (|u⃗+ v⃗| − |u⃗| − |v⃗|)