Calcular o plano tangente a superficie z= √(x.z) no ponto P(2;2;2) A: z+x+y=0 B: 2z=x+y C: z=2x+2y D: 3z=x+y+6

Para calcular o plano tangente à superfície z= √(x.z) no ponto P(2;2;2), podemos utilizar o gradiente da função: grad(f) = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z ) Calculando as derivadas parciais, temos: ∂f/∂x = (1/2)*z*(x.z)^(-1/2) = (1/2)*2*(2.2)^(-1/2) = 1/2 ∂f/∂y = 0 ∂f/∂z = (1/2)*x*(x.z)^(-1/2) = (1/2)*2*(2.2)^(-1/2) = 1/2 Assim, o vetor gradiente é: grad(f) = (1/2, 0, 1/2) O plano tangente é dado pela equação: f(P) = f(a,b,c) + ∂f/∂x(a,b,c)*(x-a) + ∂f/∂y(a,b,c)*(y-b) + ∂f/∂z(a,b,c)*(z-c) Substituindo os valores, temos: f(2,2,2) = √(2*2) = 2 ∂f/∂x(2,2,2) = 1/2 ∂f/∂y(2,2,2) = 0 ∂f/∂z(2,2,2) = 1/2 Assim, a equação do plano tangente é: 2 + (1/2)*(x-2) + (1/2)*(z-2) = 0 Simplificando, temos: x + z = 2 Portanto, a alternativa correta é a letra A) z+x+y=0.