calcule o plano tangente a superfície z² x y + x z = 2 y no ponto P (1;1;-2) A) z= 2x + 2y + 6 B) z = 2x + 2y - 12 C) 3z= x + y + 6 D) 3z= 2x + 2y ...

Para calcular o plano tangente à superfície \(z^2xy + xz = 2y\) no ponto \(P(1,1,-2)\), primeiro precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a \(x\) e \(y\) e então usar esses valores para formar a equação do plano tangente. Calculando as derivadas parciais: \[\frac{\partial f}{\partial x} = z^2y + z\] \[\frac{\partial f}{\partial y} = z^2x - 2\] Substituindo \(P(1,1,-2)\) nas derivadas parciais, obtemos: \[\frac{\partial f}{\partial x}(1,1,-2) = (-2)^2(1) + (-2) = -2\] \[\frac{\partial f}{\partial y}(1,1,-2) = (-2)^2(1) - 2 = -4\] Assim, a equação do plano tangente é dada por: \[z = f(1,1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)(x-1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)(y-1)\] \[z = -2 - 2(x-1) - 4(y-1)\] \[z = -2 - 2x + 2 - 4y + 4\] \[z = 2 - 2x - 4y\] Portanto, a alternativa correta é: B) \(z = 2 - 2x - 4y\)