Sobre a noção de homomorfismo de anéis, é correto afirmar que A A função f : R → R definida por f ( x ) = − x é um homomorfismo. B A função ...

A alternativa correta é: A) A função f: R → R definida por f(x) = -x não é um homomorfismo, pois não preserva a estrutura de anel. Para ser um homomorfismo, f deve satisfazer f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para todo x, y em R. No entanto, f(-1) = 1, mas f(1) = -1, o que viola a primeira condição. B) A função f: Z → R dada por f(x) = x é um homomorfismo, mas não é um epimorfismo. Para ser um epimorfismo, f deve ser sobrejetora, ou seja, todo elemento de R deve ser imagem de algum elemento de Z. No entanto, f não é sobrejetora, pois não existem números irracionais na imagem de f. C) A função f: Z × Z → M2(Z) definida por f(a, b) = [a 0; 0 b] é um monomorfismo. Para ser um monomorfismo, f deve ser injetora, ou seja, elementos diferentes de Z × Z devem ter imagens diferentes em M2(Z). No caso de f, se (a, b) ≠ (c, d), então [a 0; 0 b] ≠ [c 0; 0 d], o que mostra que f é injetora. D) A imagem do homomorfismo f: Z → Q, f(x) = x é o conjunto Im(f) = Z. Para ser a imagem de f, um elemento q em Q deve ter um antecedente em Z, ou seja, um número inteiro x tal que f(x) = q. Como todo número racional pode ser escrito na forma p/q, onde p e q são inteiros e q ≠ 0, basta escolher x = q para obter f(x) = q. E) O núcleo do homomorfismo nulo f: R → R, f(x) = 0 é o conjunto N(f) = R. Para ser o núcleo de f, um elemento x em R deve ter imagem zero, ou seja, f(x) = 0. Como f é a função nula, temos f(x) = 0 para todo x em R, o que mostra que N(f) = R.