2. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 1), (−1, 2)} bases de R2. (a) [1,5 ponto] Determine [I]αβ . (b) [1,5 ponto] Determine [v]β , em que v = (3...

(a) Para encontrar a matriz de mudança de base de α para β, precisamos encontrar as coordenadas de cada vetor de α em relação a β. Para isso, podemos escrever cada vetor de α como uma combinação linear dos vetores de β e resolver o sistema linear. Temos: (1, 0) = a(1, 1) + b(-1, 2) 0 = a + 2b (0, 1) = c(1, 1) + d(-1, 2) 1 = c - 2d Resolvendo o sistema, encontramos a = 2/3, b = -1/3, c = 1/3 e d = 1/3. Portanto, a matriz de mudança de base de α para β é: [I]αβ = [(2/3) - (1/3); (-1/3) (1/3)] = [(1/3) (-1/3); (-1/3) (1/3)] (b) Para encontrar as coordenadas de v = (3k, 6k) em relação à base β, precisamos resolver o sistema linear: (3k, 6k) = a(1, 1) + b(-1, 2) Isso nos dá o sistema: 3k = a - b 6k = a + 2b Resolvendo o sistema, encontramos a = 3k e b = k. Portanto, as coordenadas de v em relação à base β são: [v]β = (3k, k)