Determine o subespaço de R3 gerado por v1=(1,−2,−1) e v2=(2,1,1) . a. {(x,y,z)∈R3|x−2y+5z=0} b. {(x,y,z)∈R3|x+3y−5z=0} c. {(x,y,z)∈R3|x+y+5z=0...

Para determinar o subespaço de R3 gerado por v1=(1,−2,−1) e v2=(2,1,1), precisamos encontrar uma combinação linear dos vetores v1 e v2 que satisfaça a equação do subespaço. a. {(x,y,z)∈R3|x−2y+5z=0}: Para verificar se o subespaço é gerado pelos vetores v1 e v2, precisamos verificar se a equação do subespaço pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores v1 e v2. Temos: x - 2y + 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b) Igualando os coeficientes, temos o sistema: a + 2b = x -2a + b = y -a + b = z Resolvendo o sistema, temos: a = -x/5 + 2y/5 + z/5 b = x/5 - y/5 + z/5 Substituindo na equação dos vetores, temos: (-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5) Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 não é igual a {(x,y,z)∈R3|x−2y+5z=0}. b. {(x,y,z)∈R3|x+3y−5z=0}: Seguindo o mesmo raciocínio, temos: x + 3y - 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b) Igualando os coeficientes, temos o sistema: a + 2b = x -2a + b = y -a + b = z Resolvendo o sistema, temos: a = -x/5 + 2y/5 + z/5 b = x/5 - y/5 + z/5 Substituindo na equação dos vetores, temos: (-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5) Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 é igual a {(x,y,z)∈R3|x+3y−5z=0}. c. {(x,y,z)∈R3|x+y+5z=0}: Seguindo o mesmo raciocínio, temos: x + y + 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b) Igualando os coeficientes, temos o sistema: a + 2b = x -2a + b = y -a + b = z Resolvendo o sistema, temos: a = -x/5 + 2y/5 + z/5 b = x/5 - y/5 + z/5 Substituindo na equação dos vetores, temos: (-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5) Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 é igual a {(x,y,z)∈R3|x+y+5z=0}. d. {(x,y,z)∈R3|2x−3y+5z=0}: Seguindo o mesmo raciocínio, temos: 2x - 3y + 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b) Igualando os coeficientes, temos o sistema: a + 2b = x -2a + b = y -a + b = z Resolvendo o sistema, temos: a = -x/5 + 2y/5 + z/5 b = x/5 - y/5 + z/5 Substituindo na equação dos vetores, temos: (-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5) Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 não é igual a {(x,y,z)∈R3|2x−3y+5z=0}. e. {(x,y,z)∈R3|x+y−z=0}: Seguindo o mesmo raciocínio, temos: x + y - z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b) Igualando os coeficientes, temos o sistema: a + 2b = x -2a + b = y -a + b = z Resolvendo o sistema, temos: a = -x/5 + 2y/5 + z/5 b = x/5 - y/5 + z/5 Substituindo na equação dos vetores, temos: (-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5) Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 é igual a {(x,y,z)∈R3|x+y−z=0}.