Determine o subespaço de R3 gerado por v1=(1,−2,−1) e v2=(2,1,1) . a. {(x,y,z)∈R3|x−2y+5z=0} b. {(x,y,z)∈R3|x+3y−5z=0} c. {(x,y,z)∈R3|x+y+5z=0} d. {(x,y,z)∈R3|2x−3y+5z=0} e. {(x,y,z)∈R3|x+y−z=0}

Question

Determine o subespaço de R3  gerado por v1=(1,−2,−1)  e v2=(2,1,1) .  a. {(x,y,z)∈R3|x−2y+5z=0}  b. {(x,y,z)∈R3|x+3y−5z=0}  c. {(x,y,z)∈R3|x+y+5z=0...

Ed · Answer

Para determinar o subespaço gerado pelos vetores $ v_1 = (1, -2, -1) $ e $ v_2 = (2, 1, 1) $ em $ \mathbb{R}^3 $, precisamos encontrar uma relação linear entre eles que defina um plano.

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores $ v_1 $ e $ v_2 $ e calcular o determinante para verificar se eles são linearmente independentes:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 \
-2 & 1 \
-1 & 1
\end{bmatrix}
$$

Agora, vamos encontrar uma combinação linear que nos dê uma equação do tipo $ ax + by + cz = 0 $.

Podemos fazer isso resolvendo o sistema formado pelos vetores. Vamos tentar encontrar uma relação entre eles.

Se considerarmos a combinação $ k_1 v_1 + k_2 v_2 = 0 $, podemos montar o sistema:

$$
k_1(1, -2, -1) + k_2(2, 1, 1) = (0, 0, 0)
$$

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

1. $ k_1 + 2k_2 = 0 $
2. $ -2k_1 + k_2 = 0 $
3. $ -k_1 + k_2 = 0 $

Resolvendo esse sistema, encontramos que a combinação linear que gera o plano é:

$$
x + 3y - 5z = 0
$$

Portanto, a alternativa correta é:

b) $\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x + 3y - 5z = 0\}$

Ed · Answer

Para determinar o subespaço de R3 gerado por v1=(1,−2,−1) e v2=(2,1,1), precisamos encontrar uma combinação linear dos vetores v1 e v2 que satisfaça a equação do subespaço.

a. {(x,y,z)∈R3|x−2y+5z=0}:
Para verificar se o subespaço é gerado pelos vetores v1 e v2, precisamos verificar se a equação do subespaço pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores v1 e v2. Temos:

x - 2y + 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b)

Igualando os coeficientes, temos o sistema:

a + 2b = x
-2a + b = y
-a + b = z

Resolvendo o sistema, temos:

a = -x/5 + 2y/5 + z/5
b = x/5 - y/5 + z/5

Substituindo na equação dos vetores, temos:

(-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5)

Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 não é igual a {(x,y,z)∈R3|x−2y+5z=0}.

b. {(x,y,z)∈R3|x+3y−5z=0}:
Seguindo o mesmo raciocínio, temos:

x + 3y - 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b)

Igualando os coeficientes, temos o sistema:

a + 2b = x
-2a + b = y
-a + b = z

Resolvendo o sistema, temos:

a = -x/5 + 2y/5 + z/5
b = x/5 - y/5 + z/5

Substituindo na equação dos vetores, temos:

(-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5)

Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 é igual a {(x,y,z)∈R3|x+3y−5z=0}.

c. {(x,y,z)∈R3|x+y+5z=0}:
Seguindo o mesmo raciocínio, temos:

x + y + 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b)

Igualando os coeficientes, temos o sistema:

a + 2b = x
-2a + b = y
-a + b = z

Resolvendo o sistema, temos:

a = -x/5 + 2y/5 + z/5
b = x/5 - y/5 + z/5

Substituindo na equação dos vetores, temos:

(-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5)

Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 é igual a {(x,y,z)∈R3|x+y+5z=0}.

d. {(x,y,z)∈R3|2x−3y+5z=0}:
Seguindo o mesmo raciocínio, temos:

2x - 3y + 5z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b)

Igualando os coeficientes, temos o sistema:

a + 2b = x
-2a + b = y
-a + b = z

Resolvendo o sistema, temos:

a = -x/5 + 2y/5 + z/5
b = x/5 - y/5 + z/5

Substituindo na equação dos vetores, temos:

(-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5)

Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 não é igual a {(x,y,z)∈R3|2x−3y+5z=0}.

e. {(x,y,z)∈R3|x+y−z=0}:
Seguindo o mesmo raciocínio, temos:

x + y - z = a(1,-2,-1) + b(2,1,1) = (a+2b, -2a+b, -a+b)

Igualando os coeficientes, temos o sistema:

a + 2b = x
-2a + b = y
-a + b = z

Resolvendo o sistema, temos:

a = -x/5 + 2y/5 + z/5
b = x/5 - y/5 + z/5

Substituindo na equação dos vetores, temos:

(-x/5 + 2y/5 + z/5)(1,-2,-1) + (x/5 - y/5 + z/5)(2,1,1) = ((-x+2y+z)/5, (-2x+y+z)/5, (-x+y+z)/5)

Portanto, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 é igual a {(x,y,z)∈R3|x+y−z=0}.

Álgebra Linear

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