QUESTÃO 2 – (Valor 2,0): A função custo de um monopolista é CT = 12 + 3x e a função demanda pelo produto é p = 10 – x. Pedem-se: 2.1) o preço que m...

2.1) Para maximizar o lucro total, é necessário encontrar o ponto em que a receita marginal é igual ao custo marginal. A receita marginal é a derivada da função de demanda, que é R(x) = p(x) * x = (10 - x) * x = 10x - x^2. A derivada da receita marginal é R'(x) = 10 - 2x. O custo marginal é a derivada da função de custo, que é C(x) = 12 + 3x. A derivada do custo marginal é C'(x) = 3. Igualando as duas derivadas, temos: R'(x) = C'(x) 10 - 2x = 3 x = 3,5 Substituindo x na função de demanda, temos: p(x) = 10 - x p(3,5) = 6,5 Portanto, o preço que maximiza o lucro total é R$ 6,50. 2.2) Para que o lucro seja não negativo, a receita total deve ser maior ou igual ao custo total. A receita total é dada por R(x) = p(x) * x = (10 - x) * x = 10x - x^2. O custo total é dado por CT(x) = 12 + 3x. Igualando as duas equações, temos: 10x - x^2 >= 12 + 3x -x^2 + 7x - 12 >= 0 (x - 3)(x - 4) <= 0 Portanto, o intervalo que deve variar o preço para que o lucro seja não negativo é de x = 3 até x = 4. 2.3) O lucro total é dado por L(x) = R(x) - CT(x) = (10 - x) * x - (12 + 3x) = -x^2 + 7x - 12. Esboçando o gráfico da função, temos uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice está no ponto (3,5; -0,25). Como o coeficiente do termo x^2 é negativo, o lucro total é máximo no vértice da parábola.