A função custo de um monopolista é CT = 12 + 3x e a função demanda pelo produto é p = 10 – x. Pedem-se: 1.1) o preço que maximiza o lucro total; 1....

1.1) Para maximizar o lucro total, é necessário encontrar o ponto em que a receita marginal é igual ao custo marginal. A receita marginal é a derivada da função de demanda, que é R(x) = p(x) * x = (10 - x) * x = 10x - x^2. A derivada da receita marginal é RMg(x) = 10 - 2x. O custo marginal é a derivada da função de custo, que é CMg(x) = 3. Igualando as duas equações, temos: 10 - 2x = 3 7 = 2x x = 3,5 Substituindo x na função de demanda, temos: p = 10 - x p = 10 - 3,5 p = 6,5 Portanto, o preço que maximiza o lucro total é R$ 6,50. 1.2) Para que o lucro seja não negativo, a receita total deve ser maior ou igual ao custo total. A receita total é dada por RT(x) = R(x) * x = (10 - x) * x = 10x - x^2. O custo total é dado por CT(x) = 12 + 3x. Igualando as duas equações, temos: 10x - x^2 >= 12 + 3x -x^2 + 7x - 12 >= 0 (x - 3)(x - 4) <= 0 Portanto, o intervalo que deve variar o preço para que o lucro seja não negativo é de x = 3 até x = 4. Substituindo esses valores na função de demanda, temos que o intervalo de preços é de R$ 7,00 até R$ 6,00. 1.3) A função de lucro total é dada por LT(x) = RT(x) - CT(x) = (10 - x) * x - (12 + 3x) = -x^2 + 7x - 12. Para esboçar o gráfico da função de lucro total, podemos encontrar o valor máximo de x que calculamos anteriormente (x = 3,5) e traçar a parábola que representa a função de lucro total. O vértice da parábola é o ponto em que o lucro é máximo. Para encontrar o vértice, podemos usar a fórmula x = -b/2a: x = -7/-2 x = 3,5 Substituindo x na função de lucro total, temos: LT(3,5) = -3,5^2 + 7 * 3,5 - 12 LT(3,5) = -3,25 Portanto, o lucro máximo é de R$ 3,25. O gráfico da função de lucro total é uma parábola com concavidade para baixo, cortando o eixo x nos pontos x = 3 e x = 4 e atingindo o máximo no ponto x = 3,5.