Verifique se os pontos A, B, C e D são coplanares.
(a) A (1, 1, 1) , B (−2,−1,−3) , C (0, 2,−2) e D (−1, 0,−2)
(b) A (1, 0, 2) , B (−1, 0, 3) , C (2, 4, 1) e D (−1,−2, 2)

Question

Verifique se os pontos A, B, C e D são coplanares.
(a) A (1, 1, 1) , B (−2,−1,−3) , C (0, 2,−2) e D (−1, 0,−2)
(b) A (1, 0, 2) , B (−1, 0, 3) , C (...

Ed · Answer

Para verificar se os pontos A, B, C e D são coplanares, podemos usar o determinante de uma matriz formada pelos vetores que vão de um ponto a outros três. Se o determinante for igual a zero, os pontos são coplanares.

Vamos analisar a primeira opção (a):

1. **Pontos**:
   - A (1, 1, 1)
   - B (−2,−1,−3)
   - C (0, 2,−2)
   - D (−1, 0,−2)

2. **Vetores**:
   - AB = B - A = (-2 - 1, -1 - 1, -3 - 1) = (-3, -2, -4)
   - AC = C - A = (0 - 1, 2 - 1, -2 - 1) = (-1, 1, -3)
   - AD = D - A = (-1 - 1, 0 - 1, -2 - 1) = (-2, -1, -3)

3. **Matriz**:
   $$
   \begin{vmatrix}
   -3 & -2 & -4 \
   -1 & 1 & -3 \
   -2 & -1 & -3
   \end{vmatrix}
   $$

4. **Cálculo do determinante**:
   O determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Após calcular, se o determinante for igual a zero, os pontos são coplanares.

Agora, vamos para a segunda opção (b):

1. **Pontos**:
   - A (1, 0, 2)
   - B (−1, 0, 3)
   - C (2, 4, 1)
   - D (−1,−2, 2)

2. **Vetores**:
   - AB = B - A = (-1 - 1, 0 - 0, 3 - 2) = (-2, 0, 1)
   - AC = C - A = (2 - 1, 4 - 0, 1 - 2) = (1, 4, -1)
   - AD = D - A = (-1 - 1, -2 - 0, 2 - 2) = (-2, -2, 0)

3. **Matriz**:
   $$
   \begin{vmatrix}
   -2 & 0 & 1 \
   1 & 4 & -1 \
   -2 & -2 & 0
   \end{vmatrix}
   $$

4. **Cálculo do determinante**:
   Novamente, calculamos o determinante. Se for igual a zero, os pontos são coplanares.

Para determinar a resposta correta, você precisaria calcular os determinantes. Se precisar de ajuda com o cálculo, me avise!

Ed · Answer

Para verificar se os pontos são coplanares, podemos utilizar a fórmula do produto misto. Se o produto misto dos vetores formados pelos pontos A, B e C for igual ao produto misto dos vetores formados pelos pontos A, B e D, então os pontos são coplanares.

(a) A (1, 1, 1), B (−2,−1,−3), C (0, 2,−2) e D (−1, 0,−2)

Vetor AB = (-2-1, -1-1, -3-1) = (-3, -2, -4)
Vetor AC = (0-1, 2-1, -2-1) = (-1, 1, -3)
Vetor AD = (-1-1, 0-1, -2-1) = (-2, -1, -3)

Produto misto de AB, AC e AD:
(-3) * (1*(-1) - (-3)*1) - (-2) * (-1*(-2) - (-3)*(-1)) - (-4) * ((-1)*(-1) - 1*(-2))
= -3 * (-4) - (-2) * (-1) - (-4) * (1)
= 12 + 2 + 4
= 18

Portanto, os pontos A, B, C e D não são coplanares.

(b) A (1, 0, 2), B (−1, 0, 3), C (2, 4, 1) e D (−1,−2, 2)

Vetor AB = (-1-1, 0-0, 3-2) = (-2, 0, 1)
Vetor AC = (2-1, 4-0, 1-2) = (1, 4, -1)
Vetor AD = (-1-1, -2-0, 2-2) = (-2, -2, 0)

Produto misto de AB, AC e AD:
(-2) * (4*(-1) - 1*0) - 0 * (1*(-2) - (-1)*(-2)) - 1 * ((-2)*0 - (-1)*(-2))
= -2 * (-4) - 0 - 1 * 2
= 8 - 2
= 6

Portanto, os pontos A, B, C e D não são coplanares.

Geometria Analítica

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Respostas

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1.8 Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelogramo.

1.17 Se a e b são vetores LI, mostre que 2a+ 3b e a− 6b também são LI.

1.19 Mostre que a, b, e c são LI se, e somente se, a equação vetorial xa + yb + zc = 0 admite apenas a solução nula x = 0, y = 0 e z = 0.

1.24 Represente graficamente os vetores a = i+ j, b = −3i+ j+2k, c = 2i− j−4k e d = j−2k.

1.26 Considere o ponto A (1, 2, 3) e o vetor v = 3i+ 4j + 5k. Determine B tal que −−→AB = v.

1.30 SejamA, B, C e D os vértices de um paralelogramo e G o ponto de encontro das diagonais. Sabendo que A (2,−1,−5) , B (−1, 3, 2) e G (4,−1, 7), determine os vértices C e D.

1.31 Em cada caso verifique se vetores são LD ou LI. (a) u = i+ 2k, v = 2i+ j, w = 3i+ j + 5k (b) u = −14i+ 91j + 56k, v = 2i− 13j − 8k (c) u = i+ j, v = 3i+ 12j + k (d) u = 3i+ j + 2k, v = i+ j + k, w = 2i+ k

1.33 Determine o valor de m de modo que os vetores u = mi+ 2j + k, v = 8i+mj + 2k sejam colineares.

1.80 Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A (2, 1, 6) e os três vértices adjacentes nos pontos B (4, 1, 3) , C (1, 3, 2) e D (1, 2, 1) .

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