175. Seja F o subespaço de R4 gerado pelos vectores (1, 1,−1,−2) , (−2, 1, 5, 11) , (0, 3, 3, 7) e (3,−3,−3,−9) . Determine a dimensão de F e encon...

Para determinar a dimensão de F, podemos encontrar a matriz dos coeficientes dos vetores geradores e escaloná-la. Ao escalonar a matriz, podemos contar o número de linhas não nulas para determinar a dimensão de F. A matriz dos coeficientes é dada por: \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & -3 \\ -1 & 5 & 3 & -3 \\ -2 & 11 & 7 & -9 \end{bmatrix} Escalonando a matriz, obtemos: \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Portanto, a dimensão de F é 3, pois há três linhas não nulas na matriz escalonada. Para encontrar uma base ortonormal para F, podemos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores geradores de F. Após a ortogonalização, normalizamos os vetores resultantes para obter uma base ortonormal. Após aplicar o processo de Gram-Schmidt, obtemos os seguintes vetores ortogonais: \begin{align*} v_1 &= (1, 1, -1, -2) \\ v_2 &= (-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2}, -\frac{9}{2}) \\ v_3 &= (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) \end{align*} Normalizando esses vetores, obtemos a seguinte base ortonormal para F: \begin{align*} u_1 &= \frac{1}{\sqrt{7}}(1, 1, -1, -2) \\ u_2 &= \frac{1}{\sqrt{90}}(-3, 1, 9, -9) \\ u_3 &= \frac{1}{\sqrt{4}}(1, -1, -1, -1) \end{align*} Portanto, a dimensão de F é 3 e uma base ortonormal para F é dada pelos vetores u1, u2 e u3.