7 Acerte o alvo A figura abaixo indica um alvo em uma parede que está fixo e não pode ser rotacionado. Ele está dividido em 10 partes, divididas e...

a) Podemos distribuir os números nas partes do alvo de 10! maneiras diferentes, pois temos 10 partes e 10 números para distribuir, sem repetições. b) Para que os números mais próximos do centro não possam ser menores que os mais distantes, devemos distribuir os números de forma que o número 1 esteja em uma das partes do anel externo. A partir disso, temos 5 opções para a parte adjacente ao número 1 no anel externo e 4 opções para a parte adjacente a essa no anel menor. Depois, temos 7 opções para a parte adjacente à parte que contém o número 1 no anel externo e 6 opções para a parte adjacente a essa no anel menor. E assim por diante, até distribuirmos todos os números. Portanto, temos 5! maneiras de distribuir os números dessa forma. c) Para que a soma dos números no anel externo seja igual à soma dos números do anel menor, a soma dos números deve ser 55 (1+2+3+...+10 = 55). Podemos escolher qualquer número para ser o primeiro número do anel externo, digamos que seja o número 10. Então, a soma dos números restantes no anel externo deve ser igual a 45 (55-10). Podemos escolher qualquer subconjunto de números que somem 45 para colocar no anel externo. Isso pode ser feito de 2^9 maneiras, pois temos 9 números restantes para escolher. Depois, podemos distribuir os números restantes no anel menor de forma que a soma seja 55-10- soma do anel externo. Isso pode ser feito de (10-1)! maneiras, pois temos 9 números restantes para distribuir. Portanto, temos 2^9 x 9! maneiras de distribuir os números dessa forma.